Đề thi học sinh giỏi lớp 12 – bảng b môn: toán

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 – BẢNG B
Môn: Toán
Bài 1:(2đ) Xét chiều biến thiên của hàm số: 
Bài 2:(2đ) Parabol: chia hình tròn ra làm 2 phần. Tính diện tích mỗi phần đó.
Bài 3:(2đ) Tìm m để phương trình x4 – ( 2m+3)x2 + m + 5 = 0 có 4 nghiệm x1, x2, x3, x4 thoả mãn : 
 -2 < x1 < -1 < x2 < 0 < x3 < 1 < x4 < 3
Bài 4:(2đ) Giải bất phương trình: 
Bài 5:(2đ) Giải phương trình: 
Bài 6:(2đ) Biết rằng tồn tại x để các cạnh của DABC thoả mãn: a = x2 + x + 1; b = 2x + 1; 
 c = x2 – 1. Hỏi DABC có đặc điểm gì?
Bài 7:(2đ) Tính 
Bài 8:(2đ) Giải hệ phương trình:
Bài 9:(2đ) Cho mặt cầu (C) tâm O, bán kính R và n điểm trong không gian: A1, A2 ....., An. Với mỗi điểm M thuộc mặt cầu (C) người ta dựng điểm N sao cho: . Tìm tập hợp các điểm N khi M thay đổi.
Bài 10:(2đ) Biết rằng các số a,b,c,d thoả mãn: 
Chứng minh: 
ĐÁP ÁN HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 – BẢNG B
Môn : Toán
Bài
Nội dung
Điểm
1
(2đ)
Đk:
	Tập xác định của hàm số là R.
Ta có: y’ = 
 Hàm số luôn đồng biến trên toàn tập xác định R
0.5
0.5
0.75
0.25
2
(2đ)
Đường tròn có bán kính: R= y
Diện tích hình tròn là: S = (đvdt)
Gọi diện tích phần gạch chéo là S1, phần còn lại là S2. A B
x
2
-2 O
 Cần tính S1.Phương trình đường tròn: x2 + y2 = 8 
	y = 
Đường tròn và Parabol cắt nhau tại 2 điểmA, B có toạ 
độ là nghiệm của hệ: 
 S1 = 
đặt x = cận thành cận 
 (đvdt)
 ( đvdt)
0.5
0.5
0.5
0.5
3
(2đ)
Txđ của phương trình là : R
Đặt x2 = X , ta có phương trình: f(X) = X2 – ( 2m+3).X + m + 5 = 0 (*)
để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt x1 < x2 < x3 < x4 thì phương trình (*) có hai nghiệm thoả mãn: 0 < X1 < X2. Khi đó Do đó: -2<- <-1< -< 0 < < 1 < < 3
>1 > > 0 4 > X2 > 1 > X1 > 0
 không tồn tại m thoả mãn bài toán .
0.5
0.5
0.5
0.5
4
Giải bất phương trình : (x-3)
Txđ :R
Bpt :
 Đây là tập nghiệm của bấtt phương trình.
0.5
1.0
0.5
5
(2đ)
Đk: 
áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: VF = 
áp dụng Bđt Bunhiacôpxki cho vế trái ta được:
VT .
để phương trình có nghiệm thì VT=VF = 
 đây là họ nghiệm của phương trình.
0.5
0.5
0.5
0.5
6
Để a, b, c là 3 cạnh của DABC: a = x2 + x + 1; b= 2x+1; c = x2 –1 thì điều kiện cần là:
Với điều kiện x>1, từ giả thiết của bài toán ta kiểm tra thấy:
a2 = b2 + c2 +bc. Theo định lý hàm số côsin ta có: a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA => cosA= mà 0 A = . Vậy DABC có góc A = 
0.5
1.0
0.5
7
(2đ)
Ta có 
đặt thì 6t = 3x-1 Û Khi x Þ ¥ thì t Þ ¥
Khi đó = e4
 vì 
0.5
0.5
0.5
0.5
8
(2đ)
Đk: x > 0; y > 0; z > 0. Khi đó hệ phương trình tương đương với:
Nhân (1), (2), (3) vế với vế ta được x2y2z2 = 4.9.16 Û x.y.z=24
0.5
0.5
0.5
0.5
9
(2đ)
Gọi tổng: ( Điểm K hoàn toàn được xác định tuỳ thuộc vào cách cho hệ điểm A1, A2, A3,......, An)
Khi đó: (1) 
Þ Tập hợp các điểm N là mặt cầu tâm K, bán kính (n-1)R
0.5
0.5
0.5
0.5
10
(2đ)
Trên mặt phẳng toạ độ xét 2 điểm : y
M
M(a,b) và N(c,d). Từ giả thiết ta có: 
 1/2 1/2
 -1
 1 
 1
 N1 -1 
 N 
1
M1
 1/2 1 11
O 
-1/2 
 1/2 
K
 1/2 1 
Þ M nằm trên đường tròn tâm I bán --1 x 
 kính R=, và N nằm trên đường tròn tâm 
K, bán kính R=. Nối IK cắt 2 đường 
 tròn tại 2 giao điểm xa nhất M1 và N1 Þ MN£ M1N1 = 
 (đpcm)
0.5
0.5
0.5
0.5
Tài liệu tham khảo:
Bài 1,7,9: Sách các bài luyện giảng môn Toán tập 3
Bài 2 : Sách tuyển chọn những bài ôn luyện môn Toán – Tập 2
Bài 3 : Sách các bài luyện giảng – tập 1
Bài 4, 6 : Sách các bài luyện giảng môn Toán - tập 2
Bài 5 : Sách phương pháp giải toán lượng giác.
Bai 8 : Sách tuyển chọn những bài ôn luyện môn Toán – Tập 1