Đề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án môn thi: Toán - Đề 1

Đề thi học sinh giỏi lớp 12
Môn thi: Toán - Đề 1
Thời gian làm bài: 180 phút
CâuI (2 điểm):
Cho hàm số: y = x3+mx2+9x+4	(Cm)
Tìm m để (Cm) có cực đại, cực tiểu?
Tìm m để (Cm) có 1cặp điểm đối xứng qua O(0; 0)?
CâuII (2 điểm):
1. Tính: 
I= 
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 ; y= 4x2 ; y = 4.
CâuIII (2 điểm):
1.Cho phương trình: (m+3)x2 - 3mx + 2m = 0
Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 sao cho 2x1- x2= 3.
2 Xác định m để tam thức bậc hai:
f(x)= x2+(3-m)x -2m + 3 luôn luôn dương với x 
Câu IV (2 điểm):
giải hệ phương trình: x + y + xy = 11
 	 x2 + y2 + 3(x + y) = 28
	2. Giải và biện luận phương trình: 
Câu V (2 điểm):
Cho phương trình: 2Cos2x - (2m+1)Cosx +m = 0
1. Giải phương trình với m = 
Tìm m để phương trình có nghiệm x sao cho x ẻ 
Câu VI (2 điểm):
	1. CMR trong DABC ta có: tgA + tgB + tgC = tgAtgBtgC
2. nếu DABC là D nhọn, c/m tgA + tgB + tgC ³ 
Câu VII (2 điểm):
Tìm: 
Giả phương trình: 8.3x + 3.2x = 24 + 6x
Câu XIII (2 điểm):
giải phương trình: log2(3.2x - 1) = 2x + 1
Cho (H) có phương trình: x2 - 3y2 = 1 và đường thẳng D: kx + 3y -1 = 0
a, Xác định k để D tiếp xúc với (H)
b, Tìm tọa độ tiếp điểm.
Câu IX (2 điểm):
Cho 3 mp (P), (Q), (R) có các phương trình lần lượt là:
(P): Ax + By + Cz + D1 = 0 	(1)
(Q): Bx + Cy + Az + D2 = 0 	(2)
(P): Cx + Ay + Bz + D3 = 0 	(3)
Với điều kiện A2 + B2 + C2 > 0 và AB + BC + CA = 0
CMR: 3mp (P), (Q), (R) đôi một vuông góc.
Cho tứ diện ABCD có AB ^ mp(BCD), DBCD vuông tại C
CMR 4 mặt của tứ diện là những D vuông.
Câu X (2 điểm):
Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác .
 CMR: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac)
Có bao nhiêu số tự nhiên (được viết trong hệ đếm thập phân) gồm 5 chữ số mà các chữ số đều lớn hơn 4 và đôi 1 khác nhau.
Kỳ thi học sinh giỏi lớp 12
Năm học: .................
Hướng dẫn chấm thi
Môn: Toán- Đề số I
(Bản hướng dẫn chấm gồm 7 trang)
Câu I: 
y' = 3x2 + 2mx + 9	
Hàm số có CĐ CT' Û y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt	(0,5đ)
 Û D' = m2 - 27 > 0
Û m ẻ(-Ơ; ) ẩ (;+Ơ)	(0,5đ)
Giả sử A(x1; y1) và B(-x1; -y1) đối xứng nhau qua gốc tọa độ và cùng thuộc (Cm)	(0,25đ)
Khi đó:	 y1 = 	(1)
	-y1 = 	(2)	(0,25đ)
Lấy (1) cộng với (2) (vế với vế) ta có p/t:
	(0,25đ)
	Û có nghiệm Û m < 0	(0,25đ)
Câu II:
Ta có:
I = = 	(0,25đ)
= 	(0,25đ)
= 	(0,25đ)
= 	(0,25đ)
2. Giao điểm hai đường y=x2 có hoành độ là : x2
Giao điểm y=4 với y = 4x2 có hoành độ là x=1
Giao điểm hai đường y=x2 và y= 4x2 có hoành độ x=0	(0,5đ)
Diện tích miền cần tính (miền gạch chéo như hình vẽ) là :
S=2
= 2 
= 2 
= (đv dt) 	(0,5đ)
Câu III
1. Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1,x2 ta có :
 (đk mạ-3)	(0,25đ)
Từ (1) và (2) ta có : x1 =và x2 =	(0,25đ)
Thay vào (3) ta được 
 (0,25đ)
Với m=-1 phương trình viết : 2x2+3x -2 =0
ị x1=, x2=-2. Vậy m=-1 là giá trị cần tìm.	(0,25đ)
2. Tam thức đã cho dương với "xÊ - 4
Khi và chỉ khi 	(0,25đ)
+
+
–
(0,25 đ)
Û	 (0,5đ)
Câu IV: 
Hệ
1. Đặt Û 	(0,25đ)	
ị P = 11 - S thế vào (2) ta được: S2 + 5S - 50 = 0
 giải được: S1 = 5; S2 = -10
* với S1 =5 ị P1 = 6 ị hệ (I) 	(0,25đ)
* với S2 = -10 ị P2 = 21 ị hệ (II) 	(0,25đ)
* giải hệ (I) ta được 2 nghiệm (2; 3) và (3; 2)
* giải hệ (II) ta được 2 nghiệm (-3; -7) và (-7; -3)
vậy hệ phương trình có 4 nghiệm:
(2; 3); (3; 2); (-3; -7); (-7; -3)	(0,25đ)
	2. Giải và biện luận phương trình: 
	Giải:
	Phương trình tương đương với: 
	(0,25đ)
Xét hai trường hợp:
* m ạ 0: ta có: x= theo điều kiện (1) ta phải có
³-m Û ị m>0	(0,25đ)
* m=0: "x đều thỏa mãn phương trình (2) so sánh với điều kiện (1) ta nhận x³0 
	(0,25đ)
Vậy:
	+ m<0 phương trình vô nghiệm
	+ m>0 phương trình có nghiệm x= 
	+ m=0 phương trình co nghiệm x ³ 0	(0,25đ)
Câu V:
	Cho phương trình : 2cos2x - (2m+1)cosx + m = 0
Đặt: cosx = t; 
p/t Û 2t2 - (2m+1)t + m =0	
D = (2m-1)2³0 ị t1 = và t2=m	(0,25đ)
a. với m = thì:
	* nghiệm t2 = cosx = (loại) 	
	* vậy t1 = cosx = = cosị x= ± (k ẻZ)	(0,5đ)
b. Để phương trình có nghiệm 
thì cosx < 0
Û -1 Ê m < 0 	(0,25đ)
Câu VI:
1. Trong DABC ta có A=p-(B+C)
ịtgA =tg(p-(B+C)) = -tg(B+C)	(0,25đ)
ÛtgA=-	(0,25đ)
ÛtgA-tgA.tgB.tgC = -tgB -tgC	(0,25đ)
ÛtgA+tgB+tgC = tgA.tgB.tgC	(đpcm).	(0,25đ)
2.DABC là D nhọn nên tgA>0, tgB>0, tgC>0
áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 3 số dương ta có:
	tgA+tgB+tgC ³ 	(0,25đ)
từ kết quả câu 1, ta có:
tgA+tgB+tgC ³ 3	(0,25đ)
Û (tgA+tgB+tgC)3 ³ 27(tgA+tgB+tgC)	(0,25đ)
Û (tgA+tgB+tgC)2 ³ 27
Û tgA+tgB+tgC³ 	(đpcm)	(0,25đ)
Câu VII
1. = 	(0,5đ)
= 	(0,25đ)
= 	(0,25đ)
2. giải phương trình: 8.3x + 3.2x =24 + 6x
Û 8(3x-3) - 2x(3x-3) = 0	(0,25đ)
Û (3x-3)(8 - 2x) = 0	(0,25đ)
Û	(0,25đ)
Vậy phương trình có 2 nghiệm x =1 và x =3	(0,25đ)
Câu VIII:
1. Giải phương trình: log2(3.2x-1)= 2x+1
Û	đặt t= 2x	(t>0)	(0,5đ)
(thỏa)
ị	ị	
ị 	(phương trình có 2 nghiệm)	(0,5đ)
2. Giải a, (H) Û 
 đưởng thẳng (D): kx+3y-1 = 0 tiếp xúc với (H) khi và chỉ khi: 
A2a2- B2b2 = C2
	Û 	(0,25đ)
giải b:	 * Khi k=2 ta có (D): 2x+3y-1=0 	(1)
gọi M0(x0, y0) là tiếp điểm của (D) và (H) áp dụng công thức phân đôi tọa độ ta có:
(D): x0x-3y0y-1 = 0	(2) 
so sánh (1) và (2) ta có:	(0,25đ)
ị ị tiếp điểm M0(2, 
-1)
* khi k=-2 ta có (D' ): -2x+3y-1=0	(3)
goi M1(x1, y1) là tiếp điểm của (D') và (H).
theo công thức phân đôi tọa độ ta có:
(D'): x1x- 3y1y-1 = 0	(4)	(0,25đ)
Từ (3) và (4) ta có:
ị M1(-2, -1)
Vậy 2 tiếp điểm là 	(0,25đ)
Câu IX
1. Các véc tơ pháp tuyến của 3 mp' (P), (Q), (R) lần lượt là:
	(0,5đ)
ta có: 
Vậy 3 mặt phẳng (P), (Q) ,(R) đôi một vuông góc.	(0,5đ)
(0,5đ)
2. c/m: * AB ^ mp(BCD)
ị hay DABC và DABD vuông tại B.
gt cho DBCD vuông tại C và AB^(BCD) nên BC là hình chiếu AC trên (BCD)
theo định lí 3 đường vuông góc ị CD^AC
(0,5đ)
hay DACD vuông tại C.
Câu X
1. Cho a, b, c là 3 cạnh của D. cm: a2+ b2+ c2 < 2(ab+bc+ca)
Giải:	Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của D nên:
a,b,c dương và:
	(0,5đ)
cộng vế với vế 3 bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta có:
	a2+ b2+ c2<2(ab+bc+ca) 	(đpcm)	(0,5đ)
2. Giải: các chữ số lớn hơn 4 là 5, 6, 7, 8, 9	(0,25đ)
Số các số gồm 5 chữ số lập nên từ các chữ số đó là hoán vị của 5 phần tử. (0,5đ)
Tức là:	
P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120	(0,25đ)
Đáp số: 120 số
------------------------------------------˜&™----------------------------------------------
Tài liệu:
	* Sách giáo khoa môn toán THPT lớp 10, 11, 12
* Sách tham khảo nâng cao của Bộ giáo dục
* Sách ôn luyện thi tốt nghiệp BT THPT
	* Toán nâng cao đại số 10 (NXB Bộ giáo dục)
--------------------------------------------š&›----------------------------------------------