Đề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án môn thi: Toán - Đề 13

 đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn toán
 (Thời gian làm bài 180 phút)
Bài 1.Cho hàm số:
 y=x3-(m+1)x2-(2m2-3m+2)x+2m(2m-1). (m-tham số)
a.Tìm các điểm mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m.
b.Xác định m để hàm số đồng biến trên (2;+) .
Bài 2.
a.Với giá trị nào của m thì bất phương trình sau :
 x2- 2mx + 2 +5 < 0. Có ít nhất một nghiệm.
b.Tìm a để phương trình sau có nghiệm và tìm nghiệm:
 (1)
Bài 3.Cho tứ diện ABCD.Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD.Hai điểm R,S lần lượt lấy trên các cạnh AC và BD sao cho (k > 0).
Chứng minh rằng bốn điểm P,Q,R,S nằm trên cùng một mặt phẳng.
Bài 4.
Cho tứ diện ABCD có BAD =900 và chân đường vuông góc hạ từ D xuống mặt phẳng (ABC) trùng với trực tâm của tam giác ABC.
Chứng minh rằng : (AB +BC +CA)2 6(AD2 +BD2 +CD2).
Bài 5.Cho hai số thực x, y bất kỳ thoả mãn điều kiện :
 2y x2 ; y -2x2 + 3x .
Chứng minh rằng : x2 + y2 2.
 Họ và tên thí sinh:...................................................Số báo danh:.......
 (Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
 Hướng dẫn chấm.
Bài 1.(4điểm).
a.(2điểm)
Điểm A(x0;y0) là điểm mà đồ thị luôn đi qua với mọi m. 0.5đ
 0.5đ
 0.5đ
Vậy điểm A(2;0) là điểm mà đồ thị đi qua 0.5đ
b.(2điểm) Ta có: 
 0.5đ 
∆’ =7m2 –7m +7 = 7(m2-m+1) > 0 , 0.5đ
 y, 0, 0.5đ 
 0.5đ 
Bài 2.(6điểm)
a.(3điểm) Bất phương trình đã cho tương đương với :
 0.5đ
đặt: t = điều kiện : t, 0 0.5đ
(*)trở thành 0.5đ
Hệ có nghiệm (t2 là nghiệm lớn) 0.5đ
b.(3điểm)
Đ/k : x>0 , x, a>0 , a 0.5đ 
(1)
 0.5đ
Đặt : t = , b= .Ta được phương trình: 0.5đ
-Nếu thì 
có nghiệm 
Lúc đó (3) có hai nghiệm 
Rõ ràng t1<-1 < b nên bị loại.
Vậy 
Vì a>0 nên a 0.5đ
-Nếu t< b thì (2)
Vì tnên t=2
Theo điều kiện t2 0.5đ
Kết hợp hai trường hợp phương trình (1) có nghiệm khi a > 1
	Khi 1<a< thì nghiệm là x = a2
	Khi a thì nghiệm là x = a 0.5đ
Bài 3.(4điểm)
Đồng phẳng hay bốn điểm P,Q,R,S cùng thuộc một mặt phẳng. 0.5đ
Bài 4.(4điểm)
Trước hết ta chứng minh CDA =900 Thật vậy:
Gọi H là hình chiếu của D lên mp(ABC), giả sử CH cắt AB tại E 
Do :AB và AB nên AB
Suy ra : AB (1) 1đ
Mặt khác :theo giả thiết BDC =900 (2)
Từ (1)và (2) CDA =900 0.5đ 
Hoàn toàn tương tự : 
 ADB =900 0.5đ
Từ đó ta có :
 AB2 + BC2 + CA2 =2(AD2+BD2+CD2) (1) 0.5đ
Sử dụng bất đẳng thức Co-si , ta có:
(AB+BC+CA)2 = AB2+BC2+CA2+2AB.BC+2BC.CA+2CA.AB 
 (AB2+BC2+CA2) (2)
 Kết hợp (1),(2) ta được : (AB+BC+CA)2 6(AD2+BD2+CD2) 1đ
 Dấu bằng xảy ra khi : AB=BC=CA. 0.5đ
Bài 5.(2điểm)
	Từ giả thiết suy ra :
 (1) 0.5đ
 (Các điểm thoả mãn (1)là phần hình phẳng 
 được tô đậm ở hình bên).
 Hoành độ giao điểm của hai Parabol: 
 0 y1= và y2=-2x2+3x
 là nghiệm phương trình: 
Với điều kiện (1) ,ta có :
 x2+y2= với 0.5đ
Ta xét hàm số :
 f(x)=4x4 –12x3+10x2 trên 
f’(x)=16x3-36x2+20x
 =4x(4x2-9x+5)
f’(x)=0x=0 , x=1, x= 0.5đ
Bảng biến thiên 
 x 0 1 6\5
 f’(x) + 0 - 
 2 
 f(x) 
 0 
Từ bảng biến thiên :
 = 2.
Vì vậy : Dấu bằng xẩy ra khi :x = y =1. 0.5