Đề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án môn thi: Toán - Đề 18

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHỐI 12
Năm học 2008 - 2009
Thời gian 180’ (không kể thời gian phát đề)
Câu 1: (2 đ) 
 Cho hàm số : (1)
Tìm trên mặt phẳng các điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua "m
Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng theo một thứ tự nào đó
Câu 2: (2 đ) 
Cho DABC có ba góc A, B, C thoả mãn : 
Chứng minh DABC là tam giác đều.
Giải hệ phương trình 
Câu 3: (2 đ) 
Giải bất phương trình : 
Xác định a, b để hàm số : 
có đạo hàm tại x = 0
Câu 4: (3 đ) 
Trên mặt phẳng toạ độ cho elíp và 2 đường thẳng :
d1: mx – ny = 0, d2: nx + my = 0. (m2 + n2> 0)
Tìm toạ độ của các giao điểm M, P của d1 với (E) và các giao điểm N, Q của d2 với (E)
Tìm điều kiện của m, n để diện tích tứ giác MNPQ đạt Max, Min.
Câu 5: (1đ)
 Với n là số nguyên dương, gọi a3n – 3 là hệ số của x3n – 3 trong khai triển thành đa thức của (x2 + 1)n (x + 2)n . Tìm n để a3n – 3 = 26n
--------(Hết)--------
Câu 1: (2,5 đ) 
Tìm trên mặt phẳng các điểm cố định mà đồ 
thị hàm số luôn đi qua "m
 Giả sử M( x; y) là điểm cố định mà mọi đường
cong của họ (Cm) đều đi qua Û Pt ẩn m :
 có vô số 
nghiệm Û 
 Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng theo một thứ tự nào đó
 Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng Û (Cm) phải có 2 cực trị và điểm uốn phải nằm trên trục hoành
Câu 2: (2 đ) 
Cho DABC có ba góc A, B, C thoả mãn : 
Ta có 
Vậy hệ ị > 0 là nghiệm của Pt :
ị A = B = 600 ị DABC là tam giác đều.
Giải hệ phương trình: 
Cách 1 : 
Cách 2 : Từ hệ ta có x; y > 0. ị Giả sử 0 < x Ê y ị
Câu 3: (2 đ) 
Giải bất phương trình : 
ĐK: x > 1/ 3 Khi đó 
Nếu 
 Không thoả mãn.
Néu x > 2/ 3 
 Kết hợp ĐK ị tập nghiệm của Bpt là 
Xác định a, b để hàm số : 
có đạo hàm tại x = 0
Để hàm số có đạo hàm tại x = 0 
Hàm số có đạo hàm tại x = 0 ị liên tục tại x = 0 
Hàm số có đạo hàm tại x = 0 
Vậy a = 3, b = 0 ị hàm số có đạo hàm tại x = 0.
Cõu 4: (2 đ) Trờn mặt phẳng toạ độ cho elớp và 2 đường thẳng :
d1: mx – ny = 0, d2: nx + my = 0. (m2 + n2> 0)
Tỡm toạ độ của cỏc giao điểm M, P của d1 với (E) và cỏc giao điểm N, Q của d2 với (E)
Viết Pt d1 & d2 dưới dạng tham số: 
ị Toạ đọ của M & P là nghiệm của Hệ (E) & (1) 
y
N
M
 3 x
Q
-2
P
-3
2
O
Thay n bởi m và m bởi – n ta cú:
Ta cú: MP // NQ ị SMNPQ = 
Ta cú 
vậy Max(S) = 12. Dấu “=” xảy ra Û m = 0 Ú n = 0.
Ta lại cú 
Vậy Min(S) = . Dấu “=” xảy ra Û m = ± n.
Câu 5: (1đ)
 Với n là số nguyên dương, gọi a3n – 3 là hệ số của x3n – 3 trong khai triển thành đa thức của (x2 + 1)n (x + 2)n . Tìm n để a3n – 3 = 26n
Xét 2 khai triển : 
 ị Các hạng tử của đa thức trên có dạng : 
Từ đó ta có : 2(n – i) + (n – j) = 3n – 3 Û 2i + j = 3 Û 
ị Hệ số của x3n – 3 là a3n – 3 =