Đề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án môn thi: Toán - Đề 21

đề thi học sinh giỏi khối 12
Môn: Toán
Thời gian: 180 phút
Bài 1(4đ): 	Cho hàm số y= (x-1)2(x+1)2(C)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
Tìm giá trị b để Parabol y= 2x2 + b tiếp xúc với (C). Viết phương trình tiếp tuyến chung của chúng tại tiếp điểm.
Bài 2(5đ): 
Tính tích phân: 
Tìm m để hàm số: có cực đại và giá trị cực đại yCĐ<10
Bài 3(3đ):
Giải phương trình: 2x + 3x= 3x + 2
Giải hệ phương trình: 
Bài(4đ):
Chứng minh rằng với mọi ta đều có:
Cho DABC với các góc A, B đều là các góc nhọn và thỏa mãn 
. Tính góc C.
Bài 5(4đ): 	 Cho góc tam diện ba mặt vuông Oxyz. Trên Ox, O y, Oz lần lượt lấy các điểm A, B, C sao cho OA = a, OB= b, OC = c.
Tính diện tích tam giác ABC theo a, b, c.
Cho A, B, C thay đổi trên các tia thỏa mãn 
 OA + OB + OC + AB + AC + BC = k , không đổi. Hãy xác định giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện OABC. 
hướng dẫn chấm đề tham gia xây dựng đề thi
học sinh giỏi khối 12
Bài 1(4đ):
2 điểm:
TXĐ: D= R 0,25 điểm
y,= 4x3- 4x =4x(x2-1)
 y,= 0 khi x= 0 hoặc x= 1 
 Dấu của y,: y,> 0 
	y,< 0 0,25 điểm 
 Hàm số đạt cực đại tại x= 0, và cực tiểu tại x=-1, x=1 	 0,25điểm 
 Tính lồi lõm, điểm uốn: y,,= 12x2-4
y,,= 0 , y,,> 0đồ thị lõm 
 đồ thị lồi 	 0,25 điểm
 Đồ thị hàm số có hai điểm uốn M1(-,; M2(,
 Giới hạn 
 Đồ thị không có tiệm cận 0,25điểm 
 Bảng biến thiên 0,25điểm
x
- -1 0 1 
y,
 - 0 + 0 - 0 +
y
-	1	+
 0	 0
Đồ thị:
 - Nhận Oy làm trục đối xứng 
 - Cắt Ox tại hai điểm (1;0); (-1;0)
Cắt Oy tại (0;1)
Đồ thị như hình vẽ
Đi qua (2;9); (-2;9) 0,25 điểm
 0,5 điểm
Parabol y= 2x2+ b tiếp xúc với (C) có nghiệm 0,25điểm
 4x3- 4x= 4x 0,25 điểm
 Ta có: tiếp điểm M1(0;1);M2(-;1); M3( ;1)
Kết luận: b= 1; b= -3 0,25 điểm 
phương trình tiếp tuyến chung tại M1: y= y,(0)(x-0)+ 1= 1 0,25điểm
Phương trình tiếp tuyến tại M2: y= y,(-)(x+)+ 1
hay tiếp tuyến (d2) y= 0,25điểm
Phương trình tiếp tuyến tại M3: y= y,()(x-)+1
hay(d3) y= 4x – 7 0,25 điểm
Kết luận 0,25 điểm
Bài 2(5đ): 
a)(2,5 điểm)
 Tính 	I =	.
 Đặt t = 0,25 điểm
Đổi cận ta có x= ; x= . 0,25 điểm
 Khi đó: I = 0,25 điểm
Tìm A,B,C để = 
Đồng nhất thức : 0,25điểm
Khi đó: I= -3=-3( )dt= 
	 = dt
	 = 0,25 điểm
	 Đặt 0,25 điểm
Đổi cận: Khi t=-2 0,25 điểm
	 == 0,5 điểm
Kết luận: I= + 0,25 điểm
b) (2,5đ):
Xét g(x)=x2+ 2x + 2m, có D,= 1- 2m
Xét hai trường hợp sau:
 -Trường hợp 1: Nếu D, thì g(x) với mọi x. Khi đó
 y= x2+ 2x + 2m. hàm số không có cực trị, hay trường hợp này loại.0,25 điểm
 -Trường hợp 2: Nếu D, thì phương trình g(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt:
x1= -1- 
Khi đó ta có: 
	 0,25 điểm
 0,25 điểm
Xét các khả năng sau:
a.Nếu 
 0,25 điểm
ta có bảng biến thiên:
x
 x1 x2 
y,
 - 0 + +	+
y
 CT
Hàm số không có cực đại. 0,5 điểm
 b.Nếu 0,25 điểm
ta có bảng biến thiên :
x
 x1 x2 
y,
 - 0 + + 0	-	0 +
y
 CĐ 
 CT CT
yCĐ= y()= ()2- ()- 2m = 0,5 điểm
Kết luận: Với thì thỏa mãn yêu cầu bài toán. 0,25 điểm
Bài 3(3đ): 
(1 điểm)Giải phương trình 2x + 3x = 3x + 2
Ta có phương trình tương đương dương với: 2x + 3x –( 3x + 2) = 0
Xét hàm số f(x) = 2x + 3x - 3x – 2 trên tập xác định R
Ta có: f,(x) = 2x ln2 + 3x ln3 – 3 0,25 điểm
 f,,(x) = 2xln22 + 3x ln23 > 0 suy ra f,(x) đồng biến trên R 0,25 điểm 
 hay phương trình f,(x) = 0 không có quá một nghiệm. 
Do đó phương trình f(x) = 0 không có quá 2 nghiệm . 0,25 điểm
Nhẩm nghiệm ta thấy x = 0; x = 1 là hai nghiệm của phương trình. 0,25 điểm
(2 điểm)Giải hệ phương trình:
 0,25 điểm
 do (x+y)(y-1) 0,25 điểm
Xét hàm số f(t) = ; > 0 . Suy ra f(t) đồng biến trên R\{0}. 0,25 điểm
Khi đó (2) 0,25 điểm
Hệ trở thành: 
 0,25 điểm
 0,5 điểm
Kết luận: Hệ có hai cặp nghiệm (-1;2) và ( ,) 0,25điểm
Bài 4(4đ): 
a)(2điểm) Chứng minh rằng với mọi ta đều có:
Ta có: 
	 0,5điểm
 Ta có: thì -x2 –x -x2 < 1-x2
+ Ta chứng minh 	1- x2 
Thật vậy: xét hàm số f(u) = eu - u – 1 trên đoạn 0,25điểm
f,(u) = eu -1nghịch biến trên đoạn đang xét suy ra hay eu – u – 1 0 suy ra eu + 1 với u = -x2 được chứng minh. 0,5điểm
 + Chứng minh (2): 
 Đặt t= - x2 0,25điểm
. Thật vậy: 
 g,(t) = et – 1 – t – ; g,,(t) = et – 1< 0 g,(t) nghịch biến trên khoảng đang xét. Suy ra g(t) đồng biến trên . Bài toán được chứng minh. 0,5điểm
b)(2điểm) Cho A, B nhọn và thỏa mãn Sin2A + Sin2B = 
+ Nếu C 900 suy ra Cos( A+B) < 0 0,25điểm
Nên vô lí. 0,5điểm
+ Nếu C > 900 thì A+ B < 900. 
Từ giả thiết ta suy ra 
Sin2A + Sin2B = 0,25 điểm
 0,25 điểm
	Cos(A+B) vô lý 0,5 điểm
 + C = 900 thỏa mãn = 1. 0,25 điểm
Bài5 :(4 điểm): (Vẽ hình đúng cho 0,25 điểm)
 1.Hạ OHvuông góc với BC AH vuông góc với BC(định lí ba đường vuông góc) 0,5điểm
Ta có 0,25điểm
Lại có 0,25 điểm
BC2=b2+c2	 	
Do đó Diện tích tam giác ABC= 0,25 điểm
2.Ta có 0,5 điểm
Từ giả thiết ta có 1,5 điểm
Từ đó Vậy ma x V= 0,5điểm
Chú ý: -Học sinh không vẽ hình bài hình không được chấm điểm
 -Học sinh giải cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.
 C
	B
 O
	A