Đề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án môn thi: Toán - Đề 22

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 – THPT
Thời gian: 180 phút 
Bài 1: ( 2 điểm) Cho hàm số: (C)
Chứng minh giao điểm I của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị (C)
Viết phương trình 2 đường thẳng qua I có hệ số góc nguyên sao cho chúng cắt (C) tai 4 điểm phân biệt là 4 đỉnh của một hình chữ nhật
Bài 2: (2 điểm)
 Tính tích phân: 
Bài 3: ( 2 điểm) Cho họ parabol (Pm) có phương trình:
 y=2006x2 +mx – 2004 m2+2003m -2005. 
Gọi (Cm) là đường tròn đi qua các giao điểm của (Pm) với các trục toạ độ. Chứng minh khi m thay đổi (Cm) luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 4: ( 2điểm) Giải phương trình:
Bài 5 (2 điểm) 
 Giải hệ 
Bài 6: (2đi ểm)Tam giác ABC có góc A tù thoả mãn cos3A + cos3B +cos 3C= 
Tính các góc của tam giác ABC
Bài 7: (2 điểm) Tìm giới hạn của dãy xn+1= với x1=0, x2 =1
Bài 8: ( 2 điểm) Cho phương trình 
Giải phương trình với m=4
Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm x thoả mãn 
Bài 9: (2 điểm). Đường thẳng 2x – 2y -3 =0 cắt parabol có tiêu điểm F(và đường chuẩn y = -1 tại 2 điểm A và B. Tìm trên cung AB của parabol điểm C sao cho DABC có diện tích lớn nhất 
Bài 10:(2 điểm) Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số mà các số đó chia hết cho 18
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 12
MÔN TOÁN
(Thời gian: 180 phút)
Bài
Nội dung
Điểm
Bài 1
(2điểm)
a.(0.5điểm)
- Tiệm cận đứng: x = 1 
 Tiệm cận xiên: y = x+1
Þ I (1;0) 
- Xét phép chuyển hệ trục
 là hàm lẻ trên R \{0}
Þ I (1;0) là tâm đối xứng của (C ) 
b.(1.5 điểm)
- Phương trình 2 đường thẳng cần tìm có dạng:
 Yy= k1 (x-1) : (d1) ; y=k2 (x-1) (d2) (k1¹k2, k1,k2 ÎZ)
- Gọi A1, B1 là giao điểm của (d1) và (C ) 
 A2, B2 là giao điểm của (d2) và (C )
A1(x1;y1), A2(x2;y2) thuộc nhánh nằm bên phải tiệm cận đứng của ( C)
Khi đó: (k1,k2,x1,x2 >1)
A1,A2,B1,B2 là hình bình hành à là hình chữ nhật Û IA1 =IA2 Û IA12 =IA22 
- IA12 = (x1-1)2 +k12(x1-1)2 - IA22 = (x2-1)2 +k22(x2-1)2
IA12 =IA22 
 Û (k1 -1) (k2- 1) =2 
Giả sử k1 > k2 >1, do k1,k2 Î Z
Nên 
Vậy hai đường thẳng cần tìm có phương trình : y =2(x-1) và y = 3(x-1)
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Bài 2
(2 điểm)
- Nếu a2 = b2 : 
- Nếu a2 ¹ b2
 Đặt t = a2cos2x + b2sin2x Þ dt=2(b2 – a2) sinxcosx dx
Kết luận: 
0.5 đ
1.0 đ
0.5 đ
Bài 3
( 2 điểm)
- Dễ thấy (Pm) cắt trục tung tại điểm T(0; t) với 
 t = - 2004 m2 +2003m – 2005 <0 , cắt trục hoành tại 2 điểm H1 (x1; 0), H2(x2;0) với x1,x2 là hai nghiệm trái dấu của phương trình.
 2006x2 +mx -2004 m2 +2003 m -2005 = 0
- Xét giao điểm thứ 2 của (Cm) với trục tung là T’ (0; t’) thì 
Vậy (Cm) luôn đi qua điểm cố định (0; )
0.5 đ
1.0 đ
0.5 đ
Bài 4
(2 điểm)
Điều kiện -2 £ x £ 2 
Bình phương 2 vế thu được :
 - 9x2 - 8x +32 +8=0
 Đặt t= (t ³ 0) được t 2 - 8t -x2 - 8x = 0
Û t = x hoặc t = - x - 8 (loại)
Với t = x thì =x 
Đối chiếu điều kiện phương trình có nghiệm duy nhất x=
0.5 đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Bài 5
(2điểm)
Từ hệ phương trình ta có:
 sin2y+cos2y=25sin2x+4 - 12 cosx + 9 cos2 x
Û 16 cos2x + 12 cosx -28 =0 
Û cosx = 1 hoặc cos x = - (loại)
Với cos x =1 thay vào hệ ban đầu được 
Vậy hệ có nghiệm (k,m ÎZ)
1.0 đ
0.5 đ
0.5 đ
Bài 6
(2 điểm)
Từ giả thiết ta có: 
Do A là góc tù nên B, C là góc nhọn 
Do đó C= và A- B = 
Vậy A = 1400, B=C= 200
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5 đ
Bài 7
(2 điểm)
Bằng quy nạp chứng minh được xk-xk-1= (- 1)k-2 . 
Với k³2 
Bằng phép cộng liên tiếp ta có:
xn-x1=(x2-x1) .()
= 
Vậy 
1.0 đ
0.5 đ
0.5 đ
Bài 8: 
(2 điểm)
a. (0.5 điểm)
Với m = 4 phương trình có dạng:
(1)
- Điều kiện 
- Đặt 
Thì (1) trở thành Û t2 – 8t +16 = 0 Û t = 4 
- Khi t = 4 thì 
 Û x2 – 1 = 8 Û x = ±3
b.( 1.5 điểm)
Đặt u = thì t(u) = đồng biến trên [1;3] và với mỗi u [1;3] có đúng 2 giá trị của x:
 1 £ £ 3
Khi đó t(u) Î [0 ;4]. Để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm x thoả mãn: 1 £ £ 3 thì phương trình:
(1) : t2 – 2mt +2m +8 = 0 có đúng 1 nghiệm Î [0 ; 4]
 Đưa (1) về dạng: t2 +8 = 2m (t – 1) Û và lập bảng biến thiên của hàm 
 f(t)= trên [0;4]\ {1}
Þ Các giá trị cần tìm của m là : 
0.5 đ
0.5 đ
1.0 đ
Bài 9: (2điểm)
- M (x; y) Î (P) thì d(M,D) = MF (D là đường chuẩn)
 Þ phương trình của parabol : 
- Toạ độ A, B là nghiệm của hệ
 - 
 Diện tích D ABC lớn nhất khi khoảng cách từ C đến đường thẳng AB lớn nhất ÞC là tiếp điểm của tiếp tuyến song song với đường thẳng AB của (P) 
- Tiếp tuyến của (P) song song với AB có dạng 
 y=x+m Þ m = 
Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ: 
0.5 đ
0.5 đ
0.5 đ
0.5 đ
Bài 10 
( 2 điểm)
Số tự nhiên nhỏ nhất có 6 chữ số chia hết cho 8 là: 100008, số tự nhiên lớn nhất có 6 chữ số chi hết cho 9 là : 999999 Þ có số tự nhiên có 6 chữ số chia hết cho 9.
Trong đó có 50.000 số chia hết cho 2 và chỉ có những số này chia hết cho 18.Vậy có 50.000 số tự nhiên có 6 chữ số chia hết cho 18.
1.0 đ
1.0 đ