Đề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án môn thi: Toán - Đề 25
Bạn đang xem nội dung tài liệu Đề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án môn thi: Toán - Đề 25, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 – THPT Môn thi : toán học - Đề chính thức (Thời gian : 180 phút - không kể thời gian giao đề) Bài 1: ( 4 điểm ) Cho hàm số : ( C ) 1/ Khảo sát hàm số . 2/ Tìm những điểm trên đồ thị (C) có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến tại diểm đó tạo với 2 đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất . Bài 2: (2 điểm ) Biện luận theo m số nghiệm dương của phương trình : Bài 3: (2 điểm ) Giải phương trình : Bài 4: (2 điểm ) Tìm các giá trị thực của m để phương trình sau có đúng 1 nghiệm : Bài 5: (2 điểm ) Tìm tam giác ABC có B = 2A và ba cạnh có số đo là ba số nguyên liên tiếp . Bài 6: (2 điểm ) Tìm đa thức có bậc lớn hơn 1 thoả mãn hệ điều kiện sau : Bài 7: (2 điểm ) Giải hệ sau : Bài 8: (2 điểm ) Hai hình chóp tam giác đều có chung chiều cao , đỉnh của hình chóp này trùng với tâm của đáy hình chóp kia. Mỗi cạnh bên của hình chóp này đều cắt một cạnh bên của hình chóp kia. Cạnh bên của hình chóp thứ nhất tạo với đường cao một góc .Cạnh bên của hình chóp thứ 2 tạo với đường cao một góc . Tìm thể tích phần chung của hai hình chóp . Bài 9: (2điểm ) Cho các số thực chứng minh bất đẳng thức sau : ................................................................................................ Họ và tên thí sinh : .................................................Số báo danh ................... Lời giải chi tiết và biểu điểm đề thi học sinh giỏi toán khối 12 Bài ý Lời giải chi tiết Điểm Bài 1 1 TXĐ : D = R Sự biến thiên: CBT: ; y’ = 0 có 2 nghiệm x = 0 ; x = 2 HS đồng biến trên và nghịch biến trên các khoảng Cực trị : Cực đại tại x =0 và Cực tiểu tại x=2 và Nhánh vô cực và tiệm cận: Tiệm cận đứng x = 1; tiệm cận xiên y = x+1 và ........................................................................................................ BBT : x o 1 2 y’ + - ‖ - + y Đồ thị : y Đồ thị đi qua gốc toạ độ O=(0;0) Tâm đối xứng I=( 1;2 ) 1 O x -1 1 1 điểm ......... 1 điểm 2 Gọi thì PTTT của ( C ) tại M là: (d) Tiệm cận đứng x = 1 ; Tiệm cận xiên y = x + 1 Giao điểm của 2 tiệm cận là I=( 1 ; 2 ) ........................................................................................................ Giao điểm của d với tiệm cận đứng x = 1 là Với tiệm cận xiên là : Ta có , nên vì a > 1 Lại có suy ra .......................................................................................................... Theo bất đẳng thức Cô si : (1) Đặt p là chu vi tam giác ABI thì : Dấu đẳng thức xảy ra ........................................................................................................... Vậy Hay điểm cần tìm là 0.5 điểm .......... 0.5 điểm ......... 0.5 điểm ............ 0.5 điểm Bài 2 Ta có PT đã cho tương đương với (1) ............................................................................................................. Số nghiệm dương của PT là số giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị hàm số với hoành độ dương. Xét hàm số : trên Đạo hàm ........................................................................................................... BBT x o 1 y’ | - o + y | ............................................................................................................ Từ BBT ta được : +/ Với thì PT vô nghiệm +/ Với thì PT có nghiệm dương duy nhất x = 1 +/ Với thì phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt 0.5 điểm .......... 0.5 điểm ......... 0.5 điểm .......... 0.5 điểm Bài 3 ĐK : Đặt Ta có ........................................................................................................... Do đó Nhân vế với vế các PT ta được ( * ) ............................................................................................................ Thay lần lượt các phương trình của hệ vào PT ( * ) sẽ có : Cộng các vế phương trình của hệ, có PT mới và thay lần lượt mỗi PT của hệ vào PT vừa có.Ta được nghiệm của phương trình đã cho là: 0.5 điểm ......... 0.5 điểm ......... 1 điểm Bài 4 Nhận thấy Cosx=0 không thoả mãn PT , bằng các chia cả 2 vế cho ta được phương trình : Đặt tgx = t , ta có PT : (1) ............................................................................................................. Để PT đã cho có nghiệm thì PT (1) phải có nghiệm Do PT (1) luôn có 1 nghiệm nên PT Chỉ có 1 nghiệm t = 1 hoặc không có nghiệm nào thuộc đoạn [ 0 ; 1 ] ............................................................................................................. Để ý rằng t = 2 không thoả mãn . Do đó Xét f(t) trên [0;1] ta có : Lập bảng biến thiên và từ BBT ta được : 0.5 điểm .......... 0.5 điểm .......... 1 điểm Bài 5 Ta chứng minh bổ đề: Điều kiện cần và đủ để tam giác ABC có B= 2A là (1) Thật vậy: Theo định lý CôSin trong tam giác áp dụng định lý Sin, ta được Do đó B = 2A và .......................................................................................................... Vì 3 cạnh là 3 số nguyên liên tiếp nên với và a < b, ta có các trường hợp sau : Nếu a=x,b=x+1,c=x+2 : Khi đó từ (1) ta được x=1 suy ra a=1,b=2,c=3. Không thoả mãn tính chất cạnh của tam giác Nếu a=x,b=x+2,c=x+1 : Từ (1) ta có PT Suy ra a=4,b=6,c=5 ( thoả mãn ) Nếu a=x+1,b=x+2,c=x : Tương tự thì , PT không có nghiệm nguyên dương nên không thoả mãn. Vậy có 1 tam giác duy nhất thoả mãn bài ra là tam giác có độ dài các cạnh là : a = 4,b = 6,c =5 . 1 điểm .......... 1 điểm Bài 6 Giả sử đa thức cần tìm là: .......................................................................................................... Từ yêu cầu , ta có điều kiện cần là : Hệ số của luỹ thừa bậc (n + 1) phải bằng 0. mà hệ số đó là Lại do nên ............................................................................................................ Do vậy đa thức phải có dạng Thay đa thức vào điều kiện (1) : ............................................................................................................. Nên Mặt khác ; Suy ra Vậy đa thức cần tìm là : 0.5 điểm .......... 0.5 điểm .......... 0.5 điểm .......... 0.5 điểm Bài 7 Với ta có (1) Đẳng thức xảy ra khi (2) ............................................................................................................... Với điều kiện (1) thì trở thành : , kết hợp với (1) ta có y = - 5 (3) ............................................................................................................... Kết hợp (1);(2) và (3) ta có nghiệm của hệ đã cho là : 1 điểm .......... 0.5 điểm ........... 0.5 điểm Bài 8 Đặt 2 hình chóp tam giác đều là : O.ABC và O’.A’B’C’ với O là tâm của tam giác ABC và O’ là tâm của tam giác A’B’C’. Theo bài ra thì OO’ là đường cao chung của 2 hình chóp . Đặt D,E,F là các giao điểm của các cặp cạnh bên tương ứng của 2 hình chóp . Phần thể tích chung của 2 hình chóp là thẻ tích của khối đa diện ODEFO’. Ký hiệu V là thể tích đó thì .............................................................................................................. vuông tại O’ nên Do tính đối xứng nên OO’ đi qua tâm I của . Trong ta có : Trong có: Suy ra .............................................................................................................. Tam giác DEF đều , đường cao Diện tích với Do đó ............................................................................................................. Vậy thể tích phần chung của 2 hình chóp là : 0.5 điểm ............ 0.5 điểm ........... 0.5 điểm ........... 0.5 điểm Bài 9 Bất đẳng thức (1) Do nên ,tương tự ta cũng được : Khi đó (2) Với ............................................................................................................ Ta chứng minh: ............................................................................................................ áp dụng bất đẳng thức Cô si cho vế trái , ta được điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi 1 điểm ........... 0.5 điểm .......... 0.5 điểm Chú ý : Nếu thí sinh có lời giải theo các cách khác mà đúng vẫn cho điểm theo biểu điểm của từng bài .
File đính kèm:
De thi HSG lop 12 co dap an de 25.doc
