Đề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án môn thi: Toán - Đề 26

Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn toán lớp 12
(Thời gian làm bài 180 phút)
Bài 1: (4 điểm)
1) (Đề 48 I2 trong 150 đề tuyển sinh Đại học) 
Tìm trên đồ thị hàm số y = hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng y = x -1
2) (Tự sáng tác)
Cho a, b, c ẻ R với a ạ 0 và m ẻN* thoả mãn: 
.
Chứng minh rằng:
Đồ thị hàm số: y = ax4 + bx2 + c luôn cắt trục ox tại ít nhất một điểm thuộc khoảng (0;1).
Bài 2: (5 điểm)
1) (Tự sáng tác) 
Tìm tổng tất cả các nghiệm x ẻ [1;100] của phương trình:
Sin4x + Sin4 ( x + ) + Sin4 (x + 
2) ( Toán học tuổi trẻ năm 2003)
Cho tam giác ABC không có góc tù thoả mãn hệ thức:
Hãy tính các góc của tam giác đó.
Bài 3: (4 điểm)
1) (Toán Bồi dưỡng giải tích tổ hợp của Hàn Liên Hải - Phan Huy Khải)
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 
(Tự sáng tác)
Giải phương trình: 3x2 + 1 + log2006 
Bài 4: (4 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy
1) ( Đề thi tuyển sinh vào ĐHXD - Hà Nội năm học 2000-2001)
Cho điểm A(4;0) và đường thẳng D: 4x - 9 = 0. Chứng minh rằng tập hợp các điểm M có tỷ số khoảng cách từ đó đến điểm A và từ đó đến đường thẳng D bằng là một Hypebol. Hãy viết phương trình của Hypebol đó.
Cho Parabol y2 = 2px (p > 0) và đường thẳng d di động nhưng luôn đi qua tiêu điểm F của Parabol. Gọi M, N là các giao điểm của parabol với đường thẳng d. Chứng minh rằng đường tròn đường kính MN luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định.
Bài 5: (3 điểm) (500 Bài toán về bất đẳng thứccủa Phan Huy Khải -Tập II)
Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi K là trung điểm của SC. Mặt phẳng qua AK cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M và N. Gọi V1, V thứ tự là thể tích của khối chóp SAMKN và khối chóp SABCD. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của tỷ số .
đáp án - thang điểm
kỳ thi chọn lọc học sinh giỏi tỉnh - môn toán LớP12
Nội dung
Điểm
Bài 1: (4 điểm)
1) (2 điểm)
Hai điểm A, B đối xứng nhau qua đường thẳng y = x -1 nên đường thẳng AB có pt: y = -x + m
=>Hoành độ các điểm A, B là xA, xB chính là nghiệm pt:=-x +m
Û g(x) = 2x2 - (m + 1)x + m = 0
0,5 điểm
Gọi I là trung điểm của AB ta có xI = 
Ta phải có điểm I thuộc đường thẳng y =x -1 => 
Û m = -1
0,5 điểm
Khi đó g(x) = 2x2 - 1= 0 Û x = 
0,5 điểm
Với xA = - => yA = -xA-1 = -1+; Với xB = => yB = -1-
Vậy hai điểm cần tìm là A(-; -1+) và B (; -1-)
0,5 điểm
2) (2 điểm)
Xét hàm số f(x) = với a ạ 0 và m N*
Là hàm số liên tục và có đạo hàm là: 
f’(x) = axm+3 + bxm+1 + cxm-1 với "xẻR
0,5 điểm
Ta tính được f(0) = 0 và f(1) = (do giả thiết)
Theo định lý Lagrăng: tồn tại x0 ẻ(0;1) sao cho f’(x0) = 
0,5 điểm
=> ax= 0
=> x => ax40 + bx20 + c = 0
0,5 điểm
Tức là pt: ax4 + bx2 + c = 0 có nghiệm x0 ẻ(0;1)
Hay đồ thị hàm số: y = ax4 + bx2 + c luôn cắt ox tại ít nhất 1 điểm thuộc (0;1)
0,5 điểm
Bài 2: (5 điểm) 
1) (3 điểm)
Trước hết biến đổi vế trái của pt: Sử dụng công thức Sin (a + ) = cosa
Ta được: VT = Sin4x + cos4x + Sin4 (x+ ) + Cos4 (x+ ) 
 = (Sin2x +Cos2x) - 2Sin2x Cos2x + 1 - 2Sin2 (x+ ).Cos(x+ )
 = 1- Sin22x +1 - Sin2(2x + ) = 2 - Sin22x - Cos22x = 2 - = 
1 điểm
Nên pt đã cho viết thành: Sin44x = Û Sin24x = 1 Û Cos 4x = 0
Û 4x =+ kp Û x = + k. với k ẻ Z
0,5 điểm
Để x ẻ [1; 100] ta phải có: 1 Ê + k. Ê 100 Û 8 Ê (2k+1) p Ê 800
mà k ẻ Z nên k = 1, 2, 3 .,126
0,5 điểm
Nên tổng các nghiệm cần tìm là: S = 
0,5 điểm
Ta có là tổng của 126 số hạng của cấp số cộng có u1= 3 và u126 = 253 
Vậy S = 
0,5 điểm
2) (2 điểm)
Ta có (Cos 3A + Cos 3B) - (Cos 2A + Cos 2B) + Cos A +CosB = (1)
Û (4 Cos3A - 3 CosA + 4 Cos3B - 3CosB) -(2Cos2A-1+2Cos2B-1)+CosA+CosB =
Û (Cos3A - Cos2A) + (Cos3B - Cos2B) =- (2)
Xét hàm số f(t) = t3 - t2 với t ẻ[0;1] ta có: 
0,5 điểm
f’(t) = 4t2 - 2t; f’(t) = 0 Û t = 0
 t 0 1
 f’(t) 0 - 0 +
 f(t)
 t = . Ta có bằng biến thiên; 
 => Với "t ẻ[0;1] thì f(t) ³ f() = - 
0,5 điểm
Vì DABC không có góc tù nên 0 Ê CosA <1
 0 Ê Cos B <1
 Cos3A - Cos2A ³ - 
 Cos3B - Cos2B ³ - => VT (2) ³ - (3)
0,5 điểm
Do đó (2) được thoả mãn Û (3) xảy ra dấu “=” => Cos A = 
 Cos B = 
 => A = 600
 B = 600 => C = 600
0,5 điểm
Bài 3: ( 4 điểm)
1) (2 điểm)
 Ta có: vì x4 + 3x2 + 2 = (x2 + 2 ) (x2 + 1) 
Đặt Với "x
Û 3x3 + 2x = (Ax + B) (x2 + 1) + (Cx + D) (x2 + 2) Với "x
0,5 điểm
Hay 3x3 + 2x = (A+C)x3 + (B + D)x2 + (A + 2C)x + B + 2D Với "x
=> A + C = 3 B = D = 0
 B + D = 0 => C = -1 tức là 
 A + 2C = 2 A = 4 
 B + 2D = 0
=> f(x) = x - 
=> ũf(x)dx = 
0,5 điểm
0,5 điểm
Vậy ũ f(x)dx = với k là hằng số 
0,5 điểm
2) (2 điểm)
PT đã cho viết thành: log2006 = x6 - 3x2 - 1 (1)
Đặt: u = 4x2 + 2 > 0 ta được pt: log2006 = v - u
 v = x6 + x2 + 1> 0
Û log2006u - log2006v = v- u (*) 
0,5 điểm
- Nếu u > v thì VT (*) > 0 > VP (*) nên không thoả mãn. 
- Nếu u < v thì VT (*) < 0 < VP (*) nên không thoả mãn
- Xét u = v thì VT (*) = 0 VP (*) 
Do đó pt (*)Û x6 + x2 + 1 = 4x2 + 2 Û x6 - 3x2 - 1= 0 (2)
Đặt t = x2 ³ 0 ta được pt: f(t) = t3 - 3t - 1 = 0 (3)
0,5 điểm
Ta có f’(x) = 3t2 - 3; f’(t) = 0 Û t = -1
 t = 1. Ta có bảng biến thiên
-1
 t -∞ -1 0 1 +∞
 f’(t) + 0 - 0 + hơn nữa f(2) = 1
 f (t) 1 +∞
-3
 -∞
Do đó pt (3) có nghiệm với t ³ 0 và là nghiệm duy nhất t ẻ(0;2)
Đặt t = 2 cos a với 0 < a < ta được 8 Cos3a - 6 Cos a - 1 = 0
Û 4Cos3a - 3 Cosa = hay cos 3a = (Do 0 < a < )
=> a = ta có t = x2 = 2 Cos. Vậy pt đã cho có 2 nghiệm x = ±
0,5 điểm
0,5 điểm
Bài 4: (4 điểm)
1) (2 điểm): Giả sử điểm M (x;y) khi đó AM = 
Khoảng cách từ M đến đường thẳng D: 4x - 9 = 0 là d(M;D) = 
0,5 điểm
Ta có 
 Û 7x2 - 9y2 = 63 Û 
Vậy tập hợp các điểm M cần tìm là Hypebol có phương trình 
0.5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
H
M1
N1
O
x
d
I
F
M
y
2)( 2 điểm): Parabol y2 = 2px đường
chuẩn là D: x = -. Đường tròn 
đường kính MN có tâm là trung 
điểm I của MN và bán kính R=
Gọi M1; N1, H thứ tự là hình chiếu
Của các điểm M, N và I. 
Theo đ/n của Parabol có 
 MM1 = MF
 NN1 = NF
=> MM1 + NN1 = MF + NF = MN. 
Mà trong hình thang vuông MM1N1N thì MM1 + NN1 = 2 IH. Do đó IH=
Vậy đường tròn đường kính MN luôn tiếp xúc với đường chuẩn của Parabol
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Bài 5: (3 điểm): 
Vì ABCD là hình bình hành
=> VSABC = VSADC = VSABCD = V. 
Đặt , 
thì 
=> V1 = VSAMK + VSANK = (x + y) (1)
Mặt khác V1 = VSAMN + VSMNK = 
= x.y.+ x.y. 
=> V1 = (2). 
Từ (1) (2) => x + y = 3xy => y = (3)
Do x > 0 và y > 0 nên từ (3) => x > 
Và y = Û 2x3 - 1 ³ 0 (vì 3x-1) 0 => x ³ do đó Ê x Ê 1
Từ (1) => (x + y) = = 
Xét hàm số f(x) = với . Ta có f’(x) = 
f’(x) = 0 Û x = 0 không thuộc đoạn [ ] 
 x = => Bảng biến thiên
 x 1
 f’(x) - 0 +
 f(x) 3/8 3/8
Suy ra Ê f(x) Ê với "x ẻ [] hay Ê 
Vậy Min () = khi x = hay SM = SB
là trung điểm của SB
Và Max () = khi 
0,5điểm
0,5điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm