Đề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án môn thi: Toán - Đề 27

Kỳ thi học sinh giỏi lớp 12
Môn: Toán
(Thời gian làm bài 180 phút)
Câu I. (5 điểm). Cho hàm số 
 1, Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.
 2, Chứng minh đường thẳng (d): có đúng hai điểm mà từ mỗi điểm đó kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc. Xác định toạ độ hai điểm đó.
Câu II. (4 điểm). 
 1, Biện luận theo m số nghiệm của hệ phương trình 
Khi hệ có hai nghiệm (x1;y1), (x2;y2) tìm m để lớn nhất.
 2, Giải phương trình: 
Câu III. (5 điểm)
 1, Đường thẳng (d) cắt Parabol (P): tại hai điểm phân biệt A, B lần lượt có hoành độ x1; x2 giả sử x1<x2 và AB=2. Tìm x1; x2 để hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng (d) và Parabol có diện tích lớn nhất.
 2, Tam giác ABC không có góc tù và . Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông. 
Câu IV. (4 điểm) 
 1, Tính đạo hàm của hàm số: tại x=0
 2, Hình chóp đều S.ABC, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Mặt bên hợp với đáy góc α, . Chứng minh ( với r, R lần lượt là bán kính mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp).
Câu V. (2 điểm). Qua đường cao hình tứ diện đều dựng một mặt phẳng cắt ba mặt bên tứ diện theo ba đường thẳng tạo với đáy tứ diện lần lượt góc α, β, γ.
 Chứng minh: . 
	đáp án tháng điểm	
	Đề thi học sinh giỏi lớp 12 
 	 Môn : Toán 
 	(Gồm có: 6 trang)
Câu
ý
Nội dung
điểm
I
1
2,5
a. TXĐ: R\{1}
b. SBT: y’ = 1- = 0 x = 0; x = 2
yCĐ = y(0) = - 2	yCT = y(2) = 2
Do hàm sốđồng biến trong khoảng (-à; 0) và (2; +à); nghịch biến trong khoảng (0; 1) và (1; 2).
0,5
Tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1 do 
Tiệm cận xiên là đường thẳng y = x – 1 do = 
0,5
Giới hạn: 
x
- à
0
1
2
y'
+
0
-
-
0
+
y
- à
2
- à
+à
2
+à
BBT: 
0,5
y
x
2
1
-1
-2
2
x =1
y=x -1
O
c. Đồ thị
Như hình vẽ.
Nhận điểm làm tâm đối xứng
0,5
I.
2.
Chứng minh trên đt (d) .........
2,5
Gọi điểm M thì toạ độ M 
Gọi k là hệ số góc đt đi qua M thì có phương trình dạng: y = k(x – x0) + x0 - 2
0,5
Đt là tiếp tuyến của (P) thì hệ phương trình:
 có nghiệm x0 ạ1
0,5
Biến đổi (1) ra dạng: x -1 + = k(x – 1)+ k(1 – x0)+ (1’)
Và thay k vào (1’) , ta có:
x -1 + =(x – 1)+ k(1 – x0)+ .
 = (3)
0,5
Thay (3) vào (2) ta có:
4k2 (1 – x0)2 + 4k [(x0 – 2)(1 – x0) + 4] + (x0 – 2)2 – 16 = 0 (4)
Qua M kẻ 2 đt vuông góc tới (C) nên phương trình (4) phải có hai nghiệm k1; k2 và k1.k2 = -1.
ĐK 
0,5
Hai điểm M1; M2
0,5
II
4,0
1.
Biện luận số nghiệm hệ phương trình: .......
2,0
Xét pt: x2 + y2 = x (x - )2 + y2 = là pt của đường tròn tâm I(; 0) ; bk: R= 
Xét pt: x + my = m x + m(y – 1) = 0 là pt của đường thẳng luôn đi qua điểm cố định A(0; 1).
0,5
Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn.
y
x
A(0; 1)
O
B
I
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
điểm = 
(m = 0 (d) tiếp xúc đường tròn tại O(0; 0)
M = (d) tíêp xúc đường tròn tại B)
Số nghiệm hệ phương trình là số 
giao điểm của đt(d) và đường tròn:
0,5
Nếu Thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Nếu Thì hệ phương trình vô nghiệm.
Nếu 0 < m < 4/3 thì hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt
0,5
Tìm m để P = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 lớn nhất 
0 < m < 4/3 thì hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt (x1; y1); (x2; y2) là toạ độ giao điểm của đường thẳng và đường tròn.
P lớn nhất khi (d) đi qua tâm I(1/2; 0)
Nên: m= 1/2 thì P lớn nhất: P = 1
0,5
2.
Giải pt: ........
2,0
Điều kiện: x ạ 0
Nhận xét: = 1 - = 2(
Viết phương trình ra dạng: 2- 2 = 
0,5
 2 + .= 2 + .
0,5
Xét hàm số: f(t) = 2t + t
Nhận xét: f(t) là hàm số đồng biến.
(Loại)
Viết phương trình đã cho ra dạng: f()= f()
0,5
 = x2 – 2x = 0 
Vật pt có nghiệm x = 2
0,5
III
5,0
1.
Tìm x1 ; x2 để diện tích ..........
2,5
Xét đường thẳng y = ax + b không song song với trục tung
(Vì Parabol có trục đối xứng x0 = 1 song song trục tung)
Hoành độ x1; x2 của hai điểm A, B xác định từ pt:
-x2 + 2x + 3 = ax + b - x+ (2 – a)x + 3 –b = 0 (1)
Hay (-x2 + (2 – a)x + 3 - b= -( x – x1)(x- x2)) 
ĐK: (2 – a)2 + 4(3 – b) > 0.
0,5
Nhận xét "x ẻ[ x1; x2] thì -( x – x1)(x- x2) > 0
Nên diện tích hình phẳng:
S= - = - 
= - 
0,5
Diện tích S lớn nhất khi (x2 – x1 ) lớn nhất
Do AB = 2 = 
 (x2 – x1)2 = lớn nhất khi a = 0
0,5
Mà từ pt(1): x1+ x2 = 2 – a
Do a= 0
Ta có: x2 + x1 = 2.
Ta có: đt (d) // trục Ox nên AB = 2 = 
 x2 – x1 = 2( do giả thiết x1< x2)
0,5
Có hệ phương trình: 
Vậy x1 = 0 và x2 = 2 thì S= 4/3 lớn nhất.
0,5
2.
Chứng minh tam giác ABC vuông .......
2,5
Ta chứng minh C = 900.
Nếu 00 < C < 900 thì Sin2A + Sin2B = + 
= 1 - (Cos2A + Cos2B) = 1 – Cos(A + B)(Cos(A – B) 
= 1 + CosC. Cos(A – B)
Vì A, B nhọn nên – 900 Cos(A – B) > 0
Nên Sin2A + Sin2B = 1+ CosC. Cos(A – B) > 1 > 
1,0
Nếu 900 < C< 1800
Ta có Cos C = a2 + b2 – c2 <0
=> Sin2A + Sin2B < Sin2 C (Đ/l Sin)
Vì 0< SinC < 1 Nên Sin2 C < 
Do đó Sin2A + Sin2B< 
1,0
Với C = 900
Ta có: Sin2A + Sin2B = Sin2A + Cos2A= 1 = 
Vậy tam giác ABC thảo mãn đề bài: Vuông tại C.
0,5
IV
4,0
1.
Tính đạo hàm......
1,5
Ta có: 
= . )
0,75
= .= 1.4 
= 4. 1. 1 = 4 vậy = 4
0,75
2.
Chứng minh......
3,5
+ Kí hiệu các điểm như hình vẽ
H là tâm tam giác đều ABC
K là trung điểm BC
+ SKH = a
S
A
B
C
K
O
+ SA = = = 
+ Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp 
tam giác ABC
OA = OB = OC = OS = R
=> R2 = OA2 = AH2 + OH2
H
I
T
K
S
a
a
= = 
1,0
+ Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp: 
IT ^ mp(SBC); IH = IT = r.
Thì IT = r = SI Cosa = (SH – r).Cosa
=> r = 
0,5
= =
Đặt t = cosa vì aẻ (00; 900) Nên 0 < t < 1
Xét f(t) = Với Df = (0; 1)
0,5
f’(t) = = 0 Tại t = 1/3; t = -1.
t
-1
0
1/3
1
f'(t)
-
0
+
+
0
-
-
f(t)
0
0
BBT: 
0,5
Kết quả này chứng tỏ: 0< f(t) Ê 1/3.
Vậy ; khi f(t) = 
0,5
V
P
S
M
C
A
N
B
H
a
P
b
2,0
- Xét tứ diện đều S . ABC cạnh a, đường cao SH.
- Mặt phẳng qua SH cắt mặt phẳng (SBC) 
giao tuyến SK cắt mp(SAB) giao 
tuyến SN cắt mp(SAC) giao tuyến SP .
- Ký hiệu các góc a, b, g (hình vẽ)
- Vì H nằm trong tam giác ABC 
nên M, N, P trên đường thẳng (PNM) 
thì M, N, P ở hai phía điểm H.
+ tg a = ; tgb = ; tgg = 
0,5
+ SH = nên hệ thức cần chứng minh tương đương với: 
+ + = 
0,5
+ Gọi x, y, z là các góc do HM, HN; HP thứ tự tạo với đường vuông góc kẻ từ H xuống BC. ; xuống CA; và từ H xuống AB.
C
A
B
C1
P
N
H
A1
M
B1
- Ta có: HA1 = HB1 = HC1 = và góc giữa chúng 1200
- Thì ta có: 	
HM = ; HN = ; HP = 
- Vì x + y = 600 Và y + z = 1200
Tức là y = 600 – x ; z = 600 + x
0,5
Nên: + + = 
Do: 
Nên được : + + = => đpcm
0,5
Học sinh giải cách khác, đúng giám khảo căn cứ thành phần cho điểm tối đa.