Đề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án môn thi: Toán - Đề 28

đề thi học sinh giỏi lớp 12
 Môn: toán 
 Thời gian: 180 phút
Bài1: ( 4 điểm)
Cho hàm số 
Tìm các tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi m = 3
Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đạt cực đại tại một điểm xo<-2
Bài 2: ( 4điểm)
Tìm m để nghiệm của bất phương trình sau chứa đoạn 
Giải bất phương trình:
 Với 0 < m < 1
Bài 3: ( 4điểm)
Giải phương trình:
Cho DABC. Tìm giá trị lớn nhất của sinC biết:
 sin2A + sin2B = k sin2C Với k >
Bài 4: ( 2 điểm)
Tìm các đa thức f(x) thoả mãn:
 x.f(x-1) = (x-3) f(x)
Bài 5: ( 6 điểm)
Lập phương trình của Parabol (P) có tiêu điểm F(3;2) và đỉnh S(2;1).
Cho tứ diện OABC, đỉnh S có ba mặt vuông. Gọi H là hình chiếu của O lên đáy ABC. Chứng minh rằng:
a) 
b) 
đáp án đề thi hsg lớp 12
Môn: toán 
Bài1:
1) (1,5điểm): Với m =3 ta có: 
TXĐ: D = R
Tiệm cận xiên bên phải
 (0,25điểm)
 (0,25 điểm)
Ta có tiệm cận xiên bên phải y= x-3 (0,25điểm)
Tiệm cận xiên bên trái
 (0,25điểm)
 (0,25điểm)
Ta có tiệm cận xiên bên trái y = -5x+3 (0,25điểm)
2) (2,5 điểm):	y/(xo) = 0
Hàm số đạt cực đại tại xo 	(0,25điểm)
 y//(xo) < 0
 (0,5 điểm)
Đặt với xo<-2 (0,25 điểm)
 giảm (0,5 điểm)
 và g(-2) = (0,5 điểm)
Vậy < m < -2 (0,5 điểm)
Bài 2:
1.( 2 điểm): Với (0,25 điểm)
Đặt (0,25 điểm)
Ta có bất phương trình: (0,25 điểm)
Xét với (0,25 điểm)
 (0,25 điểm)
Ta có bảng sau:
t
 1 5/4
f/(t)
 -
 f(t)
 2
 32/45
Vậy để bất phương trình có nghiệm chứa đoạn là (0,25 điểm)
2.(2 điểm):
Vì với (0,25 điểm)
Ta có: (1) (0,25 điểm)
Đặt với . Bất phương trình (1) có dạng: (0,25 điểm)
 (2) (0,25 điểm)
Vì (0,25 điểm)
Và (0,25 điểm)
 (0,25 điểm)
Ta suy ra vế trái của (2) (0,25 điểm)
Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là R (0,25 điểm)
Bài 3:
1.(2 điểm):
Điều kiện: (0,25 điểm)
Ta có 1 + cosx > 0 ; 1 + sinx > 0 (0,25 điểm)
Phương trình (0,25 điểm)
 (0,25 điểm)
Xét hàm số: với (0,25 điểm)
 với (0,25 điểm)
Hàm số f(t) nghịch biến
 phương trình (*) có nghiệm (0,25 điểm)
 kZ (0,25 điểm)
2.(2 điểm):
Từ giả thiết, theo định lý sin ta có: a2 + b2= kc2 (0,25 điểm)
 Theo định lý cosin ta được: a2 + b2= k ( a2+b2-2abcosC ) (0,25 điểm)
 (0,25 điểm)
 theo côsi (0,25 điểm)
 (0,25 điểm)
Do sinC>0 (0,25 điểm)
Dấu bằng xảy ra ô a = b hay A = B (0,25 điểm)
 (0,25 điểm)
Bài 4:
Ta có: x.f(x-1)= (x-3).f(x) (1)
Cho x = 0 ị f(0) = 0 (2) (0,25 điểm)
Cho x = 1 ị f(1) = 0 (3) (0,25 điểm)
Cho x = 2 ị f(2) = 0 (4) (0,25 điểm)
Từ (2) ;(3); (4) ta suy ra f(x) chia hết cho x; x-1; x-2 (0,25 điểm)
Nên f(x) = x.(x-1).(x-2).P(x) (0,25 điểm)
Thay vào (1) ta được:
 x.(x-1).(x-2).(x-3).P(x-1) = x.(x-1).(x-2).(x-3).P(x) (0,25 điểm)
ô P(x-1) = P(x) ; "x
P(x) = C hằng số (0,25 điểm)
Vậy f(x) = x.(x-1).(x-2).C với C là hằng số (0,25 điểm)
Bài 5:1.(1 điểm) 
 Đường thẳng SF là trục của (P) có phương trình: x – y - 1 = 0 (0,25 điểm)
Đường chuẩn (D) của (P) có phương trình: x + y - 1 = 0 (0,5 điểm)
Gọi điểm M(x;y) ẻ (P) ô FM = d(M; D) (0,25 điểm)
 (0,5 điểm)
ô x2 + y2- 2xy - 10x - 6y + 25 = 0 (*) (0,25 điểm)
(*) là phương trình của Parabol (P) nhận điểm S làm đỉnh 
và F là tiêu điểm (0,25 điểm)
2.(4điểm):
O
Gọi A1=AHầBC ; B1=BHầAC 
C1= CHầAB (0,25điểm) 
Theo giả thiết OA^(OBC) ị OA^BC
Và OH^(ABC) ị OH^BC 
ị BC^(OAH) ị BC^AH (0,5điểm) A B1 C 
H
Tương tự BH^AC; CH^AB 
A
C
C
ị H là trực tâm của DABC (0,25điểm) 
Xét D vuông AOA1 tại O ta có: B (0,5điểm)
 (1) (0,25điểm) 
D OBC vuông tại O, ta có: (2) (0,25điểm)
Từ (1) và (2) ta có: 
 (đpcm) (3) (0,25điểm)
Nhân hai vế của (3) với 9.V2OABC ta có: (0,25điểm)
9.V2OABC =OH2.(SABC)2= OA2. (SOBC)2= OB2. (SOAC)2 = OC2. (SOAB)2 (0,5điểm)
Ta được: 
 (0,5 điểm) 
ô (đpcm) (0,5 điểm) 
(Chú ý: cách khác có thể chọn hệ toạ độ Oxyz gốc O)
Lưu ý: Những cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa thoe mỗi ý, mỗi bài.