Đề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án môn thi: Toán - Đề 30

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
(Thời gian làm bài 180’- Khụng kể thời gian phỏt đề)
MễN THI: TOÁN
x2sin khi xạ0
0 khi x=0
Bài 1. ( 2 điểm)
 Cho hàm số f(x) = 
 Chứng minh rằng = f’(0).
y=x2-6x+5
y=0
Bài 2. ( 2 điểm)
 Tớnh thể tớch vật thể trũn xoay sinh bởi miền 
 khi quay quanh trục oy.
Bài 3. ( 2 điểm)
 Tỡm m để bất phương trỡnh: mx2 + mx + m -2 ³ 0 cú nghiệm xẻ(1;2).
Bài 4. ( 2 điểm)
 Giải và biện luận phương trỡnh: ỗ4x+1ỗ+2(m-1)ỗx-1ỗ=(m+1) 
 theo tham số m. 
Bài 5. ( 2 điểm)
 Giải phương trỡnh: cosx + cos2x + cos3x + cos4x = -
Bài 6. ( 2 điểm)
 Chứng minh rằng nếu tam giỏc ABC cú:
 thỡ đều.
Bài 7. ( 2 điểm)
 Tỡm giới hạn: 
Bài 8. ( 2 điểm)
 Giải và biện luận theo m bất phương trỡnh: 
Bài 9. ( 2 điểm)
 Trong mặt phẳng oxy cho hypebol (H): và đường trũn (C): x2+y2=9.
Viết phương trỡnh tiếp tuyến của (H) kẻ qua điểm M(3;1).
Viết phương trỡnh tiếp tuyến chung của (H) và (C).
Bài 10. ( 2 điểm)
 Cho elip (E): và hai đường thẳng (d1): x-ky=0, (d2): kx+y=0. (d1) cắt
 elip (E) tại A và C, (d2) cắt elip (E) tại B và D.
 Tỡm giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất của diện tớch tứ giỏc ABCD.
 ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
MễN THI : TOÁN
Bài 1
2 điểm
 f’(0)= 
vỡ -ỗ∆xỗÊ ∆x sinÊỗ∆xỗ và (-ỗ∆xỗ)=(ỗ∆xỗ)=0
ị ị f’(0)=0 (1) 
Mặt khỏc: 
Đặt x=-t thỡ dx=-dt , với x=-p/4 thỡ t=p/4, với x=0 thỡ t=0
ị- +
 = (2)
Từ (1) và (2) suy ra diều phải chứng minh.
0,25
0,25
0,50
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 2
2 điểm
-4
5
3
1
C
B
A
O
y
x
 Vẽ đồ thị hàm số y=x2-6x+5
Cung AB cú phương trỡnh x =
Cung BC cú phương trỡnh x =
ị 
 = 64p 
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 3
2 điểm
 Giỏn tiếp loại bỏ f(x) = mx2 + mx + m -2 <0, "xẻ(1;2)
 Û m(x2+x+1)<2 Û m< "xẻ(1;2)
 Xột g(x) = "xẻ(1;2), g’(x) = hàm số nghịch biến trong khoảng (1 ;2).
ị m Ê Min 
Vậy m > thỡ bất phương trỡnh cú nghiệm "xẻ(1;2).
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 4
2 điểm
x³1
xÊ
 Điều kiện 4x2-3x-1³0 Û 
t³0
tạ2
Phương trỡnh Û - (m+1) +2(m-1) = 0
Đặt t = điều kiện 
t2-(m-1)+2(m-1)=0
0Êtạ2
Phương trỡnh trở thành 
t1=2
t2=m-1
Giải ra ta được 
m³1
mạ3
 Nghiệm t2 thỏa món Û
 Theo cỏch đặt ta tớnh được x = 
m<1
m=3
Kết luận: . thỡ PT vụ nghiệm
 . 1Êmạ3 thỡ PT cú nghiệm duy nhất x = 
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 5
2 điểm
 Nhận thấy sin=0 Û x=k2p (kẻZ) khụng phải nghiệm của PT
PT Û 2cosxsin+2cos2xsin+2cos3xsin+2cos4xsin=-sin
 Û sin=0 Û =tp Û x= (tẻZ).
KL: x= (tẻZ).
0,25
0,50
0,50
Bài 6
2 điểm
 Ta cú cosA+cosB+cosC+
 =³
³ 1+
³
³
Dấu ‘=’ xảy ra khi 
 Û A=B=C Û ∆ABC đều.
1,0
0,5
0,5
Bài 7
2 điểm
 Ta cú : 
1,5
0,5
Bài 8
2 điểm
 Điều kiện x>-3
Bất PT Û (x-m) [x-1+log3(x+3)] ³ 0
Đặt f(x)= x-1+log3(x+3) f(x) đồng biến trong (-3;+Ơ)
f(0)=0, nờn x³0 Û f(x) ³ f(0)=0 hay f(x) cựng dấu với x.
(x-m)x³0
 x>-3
Do đú BPT Û
-3<xÊ0
 x³m
Từ đú suy ra 
 Nếu m³0 thỡ nghiệm của BPT là: 
-3<xÊm
 x³0
 Nếu -3<m<0 thỡ nghiệm của BPT là:
 Nếu m=-3 thỡ nghiệm là x³0. 
 Nếu m<-3 thỡ nghiệm là x³0. 
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 9
2 điểm
1. Phương trỡnh đường thẳng qua M cú dạng : a(x-3)+b(y-1)=0 (a2+b2ạ0).
9a2-b2=(3a+b)2
3a+bạ0
 Û ax+by-3a-b=0 đường thẳng này tiếp xỳc với (H) Û
2b(b+3a)=0
3a+bạ0
 Û Û b=0 chọn a=1,b=0 PT tiếp tuyến là : x-3=0 
9=a2
ỗaỗ=3
aạ0
2. Xột tiếp tuyến cựng phương với oy cú PT : x-a=0.
 Để đường thẳng nay tiếp xỳc với (H) và (C) thỡ Û a=±3
Cú hai tiếp tuyến chung thỏa món bài toỏn là x-3=0 và x+3=0.
Xột tiếp tuyến khụng cựng phương với oy cú PT y=kx+b Û kx-y+b=0
Để đường thẳng nay tiếp xỳc với (H) và (C) Û hệ sau cú nghiệm:
9k2=b2+1
9k2+9=b2
 9k2-1=b2
 ỗbỗ=3 Û Hệ vụ nghiệm.
 bạ0
KL: cú 2 tiếp tuyến chung là: x-3=0 và x+3=0.
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 10
2 điểm
 Tọa độ giao điểm của (d1) và (E) là nghiệm của hệ :
 Û ị AC2 = 
 Tọa độ giao điểm của (d2) và (E) là nghiệm của hệ :
 Û ị BD2 = 
 Vỡ (d1) ^ (d2) nờn AC ^ BD ị 4S2 = AC2.BD2 = 
 Đặt x=k2³0, xột f(x)= , f’(x)=
 f’(0)=0 Û x=1.
 Chỳ ý rằng: 
+
0
-
+Ơ
1
0
f(x)
f’(x)
x
Bảng biến thiờn:
Từ bảng biến thiờn ị Max khi x=0 Û k=0
 Min khi x=1 Û k=±1
Vậy Max SABCD=4 khi k=0, Min SABCD= khi k=±1.
0,50
0,50
0,25
0,25
0,50