Đề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án môn thi: Toán - Đề 34

Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT
Bảng A
(Thời gian 180 phút không kể thời gian giao đề).
Bài1: (4 điểm) 
	Cho hàm số f(x)=x3- 6x2+9x-1 (C).
Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
Từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng x=2 ta có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến (C).
(Đại học ngoại thương khối A năm 2000).
Bài2: (4 điểm).
Tính I= dx.
Cho f(x) = 2x + m + log2[mx2 - 2(m – 2)x+ 2m-1].
Tìm m để f(x) có tập xác định là R.
Bài3: (4 điểm).
	Giải phương trình: ln(sinx+1) = esinx-1.
Bài4: (2 điểm). 
Giải hệ phương trình: 
Bài5: (4 điểm).
	Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a. Lấy M trong đoạn AD', N trong đoạn BD với AM=DN=x, (0<x<a).
Chứng minh với x=thì MN ngắn nhất.
Khi MN ngắn nhất chứng minh: MN là đoạn vuông góc chung của AD' và DB.
Bài6: (2 điểm).
	Cho x,y,z Chứng minh:
Đáp án Đề thi Học sinh giỏi lớp 12 THPT
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài
Câu
Nội dung
Điểm
Bài1 (4điểm)
1
(2điểm)
Tập xác định: .
Chiều biến thiên: y'=3x2-12x+9
y'=0 x=1, x=3
Hàm số đạt cực đại tại x=1, y=3
Hàm số đạt cực tiểu tại x=3, y=-1
Tính lồi lõm và điểm uốn
y''=6x-12
Hàm số lồi (
Hàm số lõm (2,+)
Điểm uốn x=2, y=1
limy=+; limy=-
x->+	x->-
Bảng biến thiên
x
- 1 3	 +
y'
 + 0 - 
y''
 3	+
- -1
Đồ thị: x=0 =>y=-1
 y=0 =>x3-6x2+9x-1=0
Lấy thêm điểm phụ: x=3 =>y=3
 x=0 =>y=-1
Vẽ đồ thị: Học sinh vẽ chính xác đẹp
0,5
0,5
0,5
0,5
2
(2điểm)
Xét A(2,a) trên đường x=2. Tiếp tuyến tại A có phương trình là:
 y=(3x02-12x0+9)(x-x0)+x03-6x02+9x0-1
Tiếp tuyến này qua A khi và chỉ khi 
a=(3x02-12x0+9)(2-x0)+x03-6x02+9x0-1
ú 2x03-12x02+24x0-17+a=0 (1)
Số nghiệm của phương trình (1) chính là số tiếp tuyến qua A
Xét g(x)= -2x3+12x2-24x+17
g'(x)=-6(x-2)2 
g(x) luôn nghịch biến và có tập giá trị là (-,+) do đó phương trình (1) luôn có một nghiệm duy nhất
Vậy từ một điểm bất kỳ trên x=2 luôn kẻ được đúng một tiếp tuyến đến (1)
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 2
(4điểm)
1
(2điểm)
I= dx = dx
=dx + dx
=dx - dx+ dx -dx 
=+
0,5
0,5
0,5
0,5
2
(2điểm)
Ta chỉ cần mx2-2(m-2)x+2m-1>0 R
Khi 
ú 	=>m >1
Vậy m>1 thì f(x) có tập xác định R
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 3
(4điểm)
Điều kiện sinx-1, x- (kZ)
Đặt ln(sinx+1)=y => sinx+1=ey
ta có hệ 
Lấy (1) trừ (2) ta có phương trình 
 esinx – ey = y-sinx
Nếu sinx > y thì esinx > ey Phương trình không có nghiệm
Nếu sinx < y thì esinx < ey Phương trình không có nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm khi sinx=y thay vào (2) ta có: esinx=sinx+1 (3)
Xét f(x)= ex-x-1 với x-1
 f'(x)= ex – 1=0 ú x=1
Vậy phương trình (3) có nghiệm sinx=0 =>x=k (kZ)
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 4
(2điểm)
Ta có điều kiện x,y,z 
Nếu (x,y,z) là một nghiệm của hệ gọi x= min(x,y,z) thì xy,xz (4)
z 1+=x =>zx Vậy z=x
xy => =>1+1+
zy (5)
Từ (4) và (5) ta có x=y=z nên x=1+ => x=y=z=
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài5
(4điểm)
1
(2điểm)
Dựng MM' AD; NN' AD
DNN' vuông cân nên AM'=MM'
Ta có AM2= x2=2MM'2 =>MM'=AM'=
Vì N'DN cân => N'D=N'N= 
=> cân MM'A = cân NN'D
=>AM'=DN'=>AN'=DM'
M'N'= AD - 2AN'= x
 M'N'=a - 2(a- )= x- a
MM'N tại M' nên MN2 
=M'M2+M'N2=+(M'N'2+N'N2)=+(x-a)2 +
=3x2 -2ax+a2
Đặt f(x)=3x2 -2ax+a2 xét trên 
f'(x)= 6x- 2a=0 x=
Vậy f(x) nhỏ nhất khi x=
MN2=3- 2a+a2
0,5
0,5
0,5
 =- +a2 ==> MN= 
0,5
2
(2điểm)
Xét MM'D: MD2=MM'2+M'D2
=+ =
và MN2= DN2=x2=
=>MN2+DN2=
Ta lại có MD2=MN2+DN2=
Vậy MDN tại N =>MN DB
Xét AN'N ta có AN2=AN'2+N'N2= +=
AM=x= MN= nên AM2+MN2= do đó
AN2=AM2+MN2 =>AMN tại M
MNAD Vậy MN là đường vuông góc chung
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài6
(2 điểm)
 Đặt sinx=a; siny=b; sinz=c thì a,b,c 
Ta có 
Ta chứng minh a,b,c 
Đặt u= ; v=; do abc1 thì uv1 ta chứng minh: 
 ta có: 
= 1+-v-=
Dấu = khi u=; v= hay x=; y=; z=
0,5
0,5
0,5
0,5