Đề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án môn thi: Toán - Đề 35

 	 	kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 THPT
 ----------------- 	----------------------------------------------
Môn thi Toán bảng A
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
-------------------------
Bài 1 (4 điểm)
Tìm trên trục hoành các điểm có thể kẻ đến đồ thị hàm số hai tiếp tuyến tạo với nhau một góc 450.
Tính thể tích vật thể sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của hình giới hạn bởi: ; x + y = 3; y = 0.
Bài 2 (4 điểm)
Tìm m để hệ có nghiệm.
Giải phương trình .
Bài 3 (4 điểm)
Giải phương trình cos6x – cos4x + 4cos3x + 4 = 0.
Trong tam giác ABC, chứng minh rằng:
.
Bài 4 (4 điểm)
Giải phương trình .
Tính .
Bài 5 (4 điểm)
Lập phương trình mặt cầu tâm I(1; -1; 1), biết rằng qua đường thẳng có hai mặt phẳng vuông góc với nhau tiếp xúc với mặt cầu.
Với a, b, c dương và 1 ≤ a ẻ R, chứng minh rằng:
...........Hết...........
Hướng dẫn chấm bài thi học sinh giỏi lớp 12 THPT
Môn: toán - bảng A
(đáp án này có 3 trang)
Bài
ý
Nội dung
Điểm
I
1
TXĐ D = R\{1}
M ẻ Ox ị M(x0; 0), đường thẳng qua M với hệ số góc k có phương trình: y = k(x – x0) (D) 
(D) là tiếp tuyến của đồ thị khi hệ: có nghiệm
ị Û ị 
Với x0 = 0 ị k = 0,
Vk = 0 = 0 sr ới x0 = ị k = 
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì: ...ị= ± 1
... 
ị M1(; 0), M2(; 0).
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
2
 Giao điểm của đồ thị hàm số , và đường thẳng x +y = - 3 là A(2; 1) ị V = p =V1+ V2
y
 O 1 2 3 x
1
 V1=p=p=...
 =p.
V2 =p = ...= p
V=p[ +] (đvtt)
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
II
1
D1 = (m – 2)2 ≥ 0 và D2 = (m – 7)2 ≥ 0 ị m = 2 hoặc m = 7 thì hệ phương trình vô nghiệm.
Với và thì tập nghiệm của (1) là D1 è R+ và tập nghiệm của (2) là D2 è R- nên hệ phương trình vô nghiệm.
Với m < 0 tập nghiệm D1= (m; 2) và tập nghiệm D2= (-7; -m) 
ị hệ phương trình luôn có nghiệm.
Hệ phương trình luôn có nghiệm với m < 0.
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
2
Û
Kết luận: và là nghiệm.
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
III
1
Û
Û 
Û 
Û
KL: Nghiệm x = p + 2kp
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
2
đặt = 1+ = t ị 1< t ≤ 
 Xét f(t) = trên (1; ], có f’(t) = > 0 ị hàm số đồng biến trên (1; ]
"t ẻ (1; ] thì f(1) < f(t) ≤ f() =
Vậy 
Dấu bằng xảy ra khi: = hay tam giác đều.
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
IV
1
Pt Û = với x > 5
Hàm số y = đồng biến trên (5; + Ơ)
Hàm số y = có y’= < 0 nghịch biến trên (5; + Ơ)
ị phương trình có nghiệm duy nhất x = 8
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
2
L = 
 =+ = L1 + L2
L1 = == 1
L2 = == 1
Vậy L = 2
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
V
1
 ta nhận thấy và (P) ^ (Q)
ị hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu nhận (Q) làm mặt phẳng phân giác ị 2 mặt phẳng hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu cũng là hai mặt phẳng phân giác của góc sinh bởi (P) và (Q). Nên phương trình 2 mặt phẳng hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu là: 
|2x + 4y – z -3| = |x – 2y -2z -1| Û 
Bán kính mặt cầu cần lập: R = d(I/a) = = 
Phương trình mặt cầu cần lập là: 
0.5đ
0. 5đ
0.5đ
0.5đ
2
Giả sử a ≥ b ≥ c > 0
...
Điều này luôn đúng với mọi a ≥ b ≥ c > 0 và a > 1, a ẻ R
dấu bằng xảy ra khi a = b = c > 0.
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ