Đề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án môn thi: Toán - Đề 36

đề thi học sinh giỏi lớp 12
 Môn: Toán - Bảng A
 Thời gian làm bài: 180 phút 
Bài 1: Cho phương trình: 
m.Cosx + Cos3x - Cos2x =1
1) Giải phương trình trên với m=1.
2) Tìm m để phương trình đã cho có đúng 8 nghiệm phân biệt 
Bài 2: 
1) Giải phương trình (Sina)x + (tga)x = (a)x
(với x là tham số, 0 < x < )
2) Tìm a để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt.
32-ẵx - Sin a +1ẵ. logp (x2 + 4x + 6) + =0
Bài 3: Với mọi DABC, "kẻ. Chứng minh:
Bài 4: Xét hai dãy số: 
Chứng minh (a2006 + b2006)2 > 16039
Bài 5: Cho tứ diện ABCD
1) Gọi ai (i= 1, 2, , 6) là độ lớn các góc nhị diện có cạnh lần lượt là các cạnh của tứ diện
Chứng minh: .
2) Gọi G là trọng tâm của tứ diện; mặt phẳng (a) quay quanh AG, cắt DB tại M và cắt DC tại N. Gọi V, V1 lần lượt là thể tích của tứ diện ABCD và DAMN. Chứng minh:
3) Gọi diện tích các mặt đối diện với các đỉnh A, B, C, D của tứ diện lần lượt là: Sa, Sb, Sc, Sd. I là tâm hình cầu nội tiếp tứ diện ABCD. Chứng minh:
Hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 12	 
Môn: Toán. Bảng A
Câu
Nội dung
Điểm
Bài 1
5
1
3
Với m =1; Phương trình 
1
2
2
2
Phương trình 
* Cosx =0 Có 2 nghiệm: 
* Ycbt Û 4Cosx2 - 2 Cosx +m - 3 =0
Có 2 nghiệm t1, t2 thỏa mãn: 
* Trường hợp (b) loại (vì nếu t2=1 thì t1<0)
* Trường hợp (a) 
Vậy giá trị m cần tìm: 1< m < 3 
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 2
4
1
2
Phương trình 
Chứng minh: có Sinu < u < tgu
nên: 
Khi đó ị Vậy phương trình vô nghiệm
0,5
0,5
0,5
0,5
2
2
Đặt Sina -1 =m (-2Ê m Ê 0)
ta luôn có: "xẻR thì: nên TXĐ của phương trình là R
Ta có phương trình 
Xét hàm số: f(t) = 
là hàm số đồng biến với "xẻ[2; +Ơ)
nên phương trình Û x2 + 4x +6 = 2 ẵx-mẵ +2 (*)
Theo yêu cầu bài toán Û (*) có 3 nghiệm phân biệt Û 
 (loại)
Vậy theo yêu cầu bài toán:
Có 3 họ giá trị của a cần tìm
0,5
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 3
2
Mọi D ABC có (1)
mà:
nên: (2)
Ta có: 
Chứng minh tương tự có:
và 
 Từ (a), (b), (c) suy ra (đpcm)
Dấu "=" khi A=B = C= ÛDABC đều
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 4
2
Ta có Si = (ai + bi) (i=1,2,3.)
Thì
nên ta có: (a1 + b1)2 > 0
(a2 +b2)2 > 0
(a2 +b2)2 > (a1 + b1)2 + 8
.
(a2006 +b2006)2 > (a2005 + b2005)2 + 8
Cộng các bđt trên, ta có:
(a2006 +b2006)2 > 8 . 2005 = 16040 > 16039
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 5
7
Hạ IA1 ^ (BCD); ID1 ^ (ABC)
IB1 ^ (ACD); IC1 ^ (ABD)
Dựng A1M ^ BC 
nên (Tương tự với a2a6)
Ta có: 
1,0
1,0
1,0
2
2
và: 
x
1
f'(x)
-
0
+
f(x)
0,5
0,5
0,5
0,5
3
2
Gọi 
vì I ở trong tứ diện, nên: M, M',. thuộc các cạnh của tứ diện.
Do: (DAM) là mặt phẳng phân giác của nhị diện cạnh AD nên: 
d[M; (DAC)] = d[M; (DAB)]
điểm Mẻ đoạn BC; nên: 
Chứng minh tương tự:
Mặt khác: I ẻ MM' = (AMD) L (BCM')
nên các vecto song song 
Vậy gọi vecto:
thì 
 song song với 
Chứng minh tương tự: và 
Nhưng ; ; không đồng phẳng
nên: ị (đpcm)
0,5
0,5
0,5
0,5
Chú ý: 
1)Điểm toàn bài là điểm tổng cộng sau khi đã làm tròn đến 0,5 điểm (ví dụ: 5,25 làm tròn 5,5)
2) Nếu thí sinh làm cách khác mà đúng chính xác thì cho điểm tối đa của câu đó.