Đề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án môn thi: Toán - Đề 38

 Đề thi học sinh giỏi môn toán KHốI 12 bảng a
Bài 1: (7 điểm) Cho hàm số: (1)
 1) Khảo sát vẽ đồ thị của hàm số. 
 2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 
 3) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ x0# 0.Giả sử tiếp tuyến đó tiếp xúc với đồ thị tại điểm M và, cắt trục tung tại điểm A, cắt đường thẳng y=x+1 tại B. Chứng minh: M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
 4) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (1) và đường 
 Bài 2: (7 điểm)
 1) Cho phương trình: cos3x – cos2x + mcosx –1 = 0 (1)
 a) Giải phương trình khi m = 3.
 b) Tìm m để phương trình (1) có đúng 7 nghiệm x ẻ(-;2p) 
 2) Giải phương trình: 
 3) Tính: 
Bài 3: (2 điểm) Cho tam giác DABC nhọn . Chứng minh : 
Bài 4: (2 điểm) Cho parabol (P): y2=(-4x) trong mặt phẳng toạ độ Oxy.
 1) Viết phương trình của (E) có hai tiêu điểm thuộc Ox mà một tiêu điểm trùng với tiêu điểm F của parabol (P) và có tâm sai .
 2) Khi (E) nhận Ox, Oy làm trục đối xứng. Hãy viết phương trình tiếp tuyến chung của parabol (P) và elip (E) lúc đó.
Bài 5: ( 2 điểm)
 1) Tính: 
 2) Chứng minh: 0 Ê p Ê n thì 
 Đáp án – thang điểm
 Đề thi học sinh giỏi khối 12 môn toán bảng a
Bài
Câu
 Nội dung
Điểm
I
7.0
I.1
2.0
a) Tập xác định: Â\ {0}
0.25
b) Sự biến thiên: y’= 
Dấu y’: + 0 + x 
 -1 - - 1
0.25
yCĐ = y (-1) = (-1), yCT = y (1) = 3.
0.25
Đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng. 
Đường thẳng y = x+1 là tiệm cận xiên.
0.25
Bảng biến thiên:
 x -Ơ -1 0 1 +Ơ
 y’ + 0 - - 0 + 
 -1 +Ơ +Ơ
y
 -Ơ -Ơ 3 
0.5
c) Đồ thị: 
0.5
I.2
2.0
Số nghiệm của phương trình: (*) bằng số giao điểm của đường y = f(x) = (C1) và đường thẳng y = m
0.5
y = f(x) có TXĐ: D = Â. Nên "x ẻ D ị (-x) ẻD
f(-x) = f(x) ị f là hàm số chẵn nên ĐTHS đối xứng lẫn nhau qua Oy.
Với "x > 0 thì f(x) = (C)
0.5
(C1):+Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở bên phải trục tung ị được một phần (C1) +Vứt bỏ phần đồ thị (C) ở bên trái trục tung.
 +Lấy đối xứng phần đồ (C) phía bên phải trục tung qua trục tung được phần còn lại của (C1)
0.5
Biện luận: + m >3 (*) có 4 nghiệm phân biệt.
 + m =3 (*) có 2 nghiệm kép.
 + m < 3 (*) vô nghiệm.
0.5
I.3
2.0
PTTT tại M(x0;) ẻ (C) có phương trình là:
 = (d)
0.5
(d) ầ Oy =A : Cho x = 0; y = 
0.25
A(0; )
0.25
(d) ầ (D) = B ((D) có phương trình: y= x +1) ị toạ độ điểm B thoả mãn hệ: 
0.25
B(2x0; 2x0+1)
0.25
;
0.25
Vậy M là trung điểm của đoạn thẳng AB
0.25
I.4
1.0
Diện tích cần tìm bằng 2 lần diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường và y=7
Giải phương trình: Û x = ; x = 
0.25
S = 
0.5
Vậy S = 2. (đvdt)
0.25
II
7.0
II.1
3.0
a)
2.0
Đặt t = cosx (). pt trở thành: 4t3 - 3t - (2t2-1) + mt -1 = 0
 Û t (4t2 – 2t + m – 3) = 0
0.5
m = 3 : t = 0; t = 1/2
0.5
Û x1 = ; x2 = ("kẻZ)
0.5
Vậy m = 3 phương trình có 2 họ nghiệm x1, x2
0.5
b)
1.0
Xét số nghiệm x ẻ(-;2p) của phương trình cosx = t
 t -Ơ -1 0 1 +Ơ
 số 
 n0 0 1 2 3 1 0
0.25
PT (1) có đúng 7 nghiệm x ẻ(-;2p) Û tam thức f(t) = 4t2 – 2t +m – 3 có 2 nghiệm t1,t2 sao cho: -1<t1<0<t2<1
0.25
Û Û
0.25
Û 1<m<3
0.25
II.2
2.0
Điều kiện: sinx>0, tgx>0. Đặt t = ị t = 
ị
0.5
ị ÛÛ (*)
0.5
t = -1 là một nghiệm của (*)
0.25
t>-1 VT(*)>VP(*)
0.25
t<-1 VT(*)<VP(*)
0.25
t = -1 ị sinx = 1/2 và tgx=ị x = (kẻZ)
0.25
II.3
2.0
* Đặt Sn= mà 
0.5
* Đặt Pn= thì Sn= -’
0.25
* Pn=
0.25
 Sn= 
0.5
0.5
III
2.0
* Có 
và do DABC nhọn nên: sinA + sinB + sinC > 2
0.5
*Xét f(x) = sinx; xẻ(0;p);f”(x)= -sinx<0 ịđồ thị h/s f là lồi
ịhay 2<sinA + sinB + sinCÊ
0.5
*Xét g(x) = xlnx ; xẻ(0;1] có g”(x) >0 ị đồ thị hàm số lõm / (0;1]
 ị
 Û 
 Û 
0.5
0.5
Iẹ
2.0
Iẹ.1
1.0
Xét parabol(P): y2 = (-4x) = (-2.2x) ị p =2 ị (P) có tiêu điểm F (-1;0)
Xét 2 trường hợp:
*TH1: (E) có tâm là O Û (E) có tiêu điểm F1= F(-1;0), gọi elip là (E1),
bán tiêu cự: c = 1.
0.25
 + a>b ị e = c/a ị a = 
 + a2= b2+c2 Û b = 1
 + PTCT của elip là: 
0.5
*TH2: (E) có tâm Ithuộc Ox, có F2=F(-1;0), gọi elip đó là (E2)
 (E1) (E2) ( Với I (-2;0)) 
Vậy (E2) có phương trình: 
0.25
Iẹ.2
1.0
(E) thoả câu 1) và có Ox, Oy là hai trục đối xứng thì elip là (E1)
có phương trình: x2+2y2-2 = 0
Gọi M( x0, y0) là điểm bất kì thuộc (E) ị tiếp tuyến với (E) tại M là:
(T): x0x + 2y0y – 2 = 0
0.25
* (T) tiếp xúc với (P) Û pB2 = -2AC Û 2y02 = x0
0.25
* M(x0;y0) ẻ (E) Û x02 + 2y02- 2 = 0
ị -x02 - x0 + 2 = 0 Với 
 Û
0.25
x0= 1; 
Có 2 tiếp tuyến chung là: (T1): và (T2): 
0.25
ẹ
2.0
ẹ.1
1.0
* Hàm số dưới dấu tích phân là hàm số chẵn nên:
I = 
0.25
Đặt ị I = 
0.25
0.25
I = = 
0.25
ẹ.2
1.0
0 Ê p Ê n. ĐFCM Û 
Đặt 
0.25
Ta chứng minh: (Với "p: 0 Ê p Ê n ) Hay là dãy giảm.
Thật vậy: 
0.5
* (đúng)
 Vậy, ta có đpcm.
 Hết
0.25
 Hết.