Đề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án môn thi: Toán - Đề 39

Đề thi học sinh giỏi toán lớp 12-Bảng A
(Thời gian làm bài 180 phút)
Bài 1: (7 điểm)
1) Xét tính đơn điệu của hàm số: y=(x-5)
2) Cho hàm số y=
Xác định a, b, c biết rằng hàm số có cực trị bằng 1 khi x=1 và đường tiệm cận xiên của đồ thị vuông góc với đường thẳng y=
3)Giải bất phương trình:
+2x > 2x.3x.+ 4x2.3x
Bài 2: (4 điểm)
Trong tất cả các nghiệm của bất phương trình: 
Hãy tìm nghiệm (x; y) mà x + 2y lớn nhất.
Bài 3(5 điểm)
Giải phương trình:
1) 
2) sin3x.(1- 4sin2x) = 
Bài 4:(4 điểm)
 ABC là tam giác đều cạnh a. Trên đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A, lấy điểm S với AS = h.
Hy là đường thẳng qua trực tâm H của tam giác SBC và vuông góc với mặt phẳng (SBC). Chứng tỏ rằng khi S di động trên Ax thì đường thẳng Hy luôn luôn đi qua một điểm cố định.
Hy cắt Ax tại S'. Xác định h theo a để SS' ngắn nhất.
Hướng dẫn chấm môn Toán học sinh giỏi
Lớp 12
Bài 1:
Câu 1: (2 điểm)
Tập xác định: D = R	0,25 điểm
y'= (-3)(x-5) + 	0,25 điểm
 =+ 3(2-3x) = 	0,25 điểm
Điểm tới hạn: x=; x=	0,25 điểm
x -Ơ 2/3 12/5 +Ơ
y' 	+	ờờ	-	0	+
y	0,5 điểm
Hàm số đồng biến trong khoảng (-Ơ; 2/3) (12/5; +Ơ)	0,25 điểm
Hàm số nghịch biến trong khoảng (2/3; 12/5)	0,25 điểm
Câu 2: (2 điểm)
Đường tiệm cận xiên có hệ số góc k = =a	0,25 điểm
Đường tiệm cận xiên vuông góc với đường thẳng y=
ta có a=2	0,25 điểm
Xét y=
y' = 	0,25 điểm
Để hàm số có cực trị bằng 1 khi x=1 điều kiện cần là:
	0,5 điểm
=> 	0,25 điểm
Thử lại ta thấy a=2, b=-3, c=0 hàm số
 y= thoả mãn điều kiện	0,25 điểm
Kết luận: a=2, b=-3, c=0	0,25 điểm
Câu 3: (3 điểm)
Bất phương trình trở thành: 
(+2x)(1-2x.3x)>0 (*)	0,5 điểm
Tập xác định: -2 ÊxÊ	0,25 điểm
(*) Û 	0,5 điểm
Xét hệ (I): Giải (1) ta được -1< x Ê 1/3	0,5 điểm
Đặt f(x) = 1-2x.3x ta thấy:
-1 Ê x Ê 0 hiển nhiên f(x)>1	0,25 điểm
Khi 0<xÊ 1/3 Û 
Do đó f(x) =1-2x.3x > 0
Nghiệm của (I) là: 	0,25 điểm
Xét hệ (II): Giải (3) ta được 	0,25 điểm
Nhưng f(x) = 1-2x.3x > 0 "xÊ 0 nên bất phương trình (4) không
thỏa mãn với những giá trị của x thuộc khoảng nghiệm của (3).
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm	0,25 điểm
Tóm lại, bất phương trình đã cho có nghiệm 	0,25 điểm
Bài 2: (4 điểm)
Xét 2 trường hợp:
+TH1: x2+ y2 > 1 khi đó dễ thấy bất phương trình 
 (1) có nghiệm (chẳng hạn x=y=0,9)	0,5 điểm
Ta có (1) Û x+y³ x2+ y2 Û x+2y ³ x2 + y2 + y (2)	0,5 điểm
Gọi S= x+2y Û x=S - 2y thay vào (2) ta được
S³(S-2y)2 +y2+y Û 5y2 -(4S-1)y +S2 - S Ê 0 (3)	0,5 điểm
Bất phương trình (3) có nghiệm nên ta phải có D³0,
Vậy 	0,5 điểm
Với S = thì D= 0 khi đó (3) Û y=	0,25 điểm
Suy ra x= S -2y = (thỏa mãn x2+ y2 > 1)	0,5 điểm
+TH2: 0< x2 + y2 < 1. Khi đó (1) Û 0 <x+y<x2+y2
=> S=x+2y < x2+y2+y<1+1=2< (do x2 + y2 < 1, )	0,5 điểm
Tóm lại: với nghiệm thì tổng x+2y lớn nhất	0,25 điểm
Bài 3: (5 điểm)
Câu 1:(3 điểm) TXĐ: -1ÊxÊ1	0,25 điểm
Pt đã cho Û 1,0 điểm
Û 0,75đ
Û(+)(-)= 	0,5 điểm
Û 1+x-1+x = Û x= (thỏa mãn)	0,5 điểm
Câu 2: (2 điểm)
Vì cosx=0 không phải là nghiệm của phương trình:
Vì cosx=0 => x=thì sin3().[1-4sin2()]ạ	0,25 điểm
Nhân hai vế của phương trình với cosx ta được:
Sin3x.(cosx - 4sin2x.cosx) =cosx
Û 2sin3x(4cos3x-3cosx) = cosx	0,25 điểm
Û 2sin3x.cos3x = cosx	0,5 điểm
Û sin6x =sin(-x)	0,5 điểm
Û Û , (kẻZ)	0,5 điểm
Bài 4: (4 điểm)
a) (2 điểm)
Gọi I là trung điểm của BC, ta có AI ^ BC, SA ^ mp(ABC)
Nên SI ^ BC (định lý 3 đường vuông góc)	0,5 điểm
Kẻ CL ^ SB thì SI ầ CL = H
Gọi J là trung điểm của AB; O là trực tâm của DABC
Ta có CJ ^ mp(SAB) => CJ ^ SB (1)
Mặt khác CL ^ SB (2)
Từ (1) và (2) suy ra SB ^ HO	0,5 điểm
Vì OH trong mp(SAI) nên OH ^ BC => OH ^ mp(SBC)	0,5 điểm
Hay OH là đường thẳng Hy. Vậy Hy luôn luôn đi qua điểm O cố định 0,5 điểm
b) (2 điểm)
Xét DSIS' ta có IA ^ SS', S'H ^ SI
Do đó O là trực tâm của DSIS'	0,5 điểm
Nên AS.AS' = AI.AO => AS' = 	0,5 điểm
Vậy SS' = SA + AS' = h+ ³ =a	0,75 điểm
Dấu "=" xảy ra khi h= => h=	0,25 điểm
Chú ý: 
1)Bài hình không có hình vẽ thì không chấm
2)Nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì người chấm cho điểm tương ứng phần đúng đó.