Đề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án môn thi: Toán - Đề 40

đề thi học sinh giỏi lớp 12 cấp tỉnh – bảng a
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Bài 1 (2điểm)
	Cho họ đường cong với 
Chứng minh rằng: Nếu a để đường thẳng : y=a không cắt họ đường congthì họ đường cong có cực đại và cực tiểu.
Bài 2	(2điểm)	
Chứng minh rằng:	>
Bài 3	(2điểm)	
Giải phương trình:	
Bài 4 (2điểm)	
	Giải phương trình: 
Bài 5	(2điểm)	
Giải phương trình: 
, nếu 0 < t ≤Π/2
, nếu Π/2 < t <Π
Bài 6	(2điểm)
	Cho hàm số 
	Chứng minh rằng: ta luôn có: .
Bài 7	(2điểm)	
Cho hàm số thoả mãn 2 điều kiện
	i. 
	ii. >1 thì 
	 Hãy xác định công thức đơn giản tính ?
Bài 8	(2điểm)	
Giải hệ phương trình
Bài 9	(2điểm)	
Cho tứ diện ABCD, chứng minh rằng: 
	>
Bài 10 (2điểm)
 Chứng minh rằng: , 
Đáp án - thang điểm
đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh – bảng a
Nội dung
Thang điểm
Bài 1 ( 2 điểm)
 Vì m+n nên họ đường cong có cực đại, cực tiểu khi m+n > -1.
 Đường thẳng không cắt nên phương trình:
 vô nghiệm
 Nên suy ra phương trình:	 vô nghiệm
 < 0 có nghiệm a
 > 0 
	> -1 có cực đại, cực tiểu 
Bài 2 ( 2 điểm)
Bổ đề: x>0 thì ex >x+1
Thật vậy: Đặt f(x) = ex - x - 1 
 Ta có: , 
 > 0 thì f(x) > f(0) = 0 > x+1 >0
áp dụng bổ đề ta có: >
 > 
Bài 3 ( 2 điểm)
Điều kiện 
Nhận thấy không phải là nghiệm nên phương trình 
Đặt phương trình trở thành: 
Với t =1 thì phương trình vô nghiệm 
Với thì phương trình có nghiệm 
Kết luận: Phương trình có nghiệm 
Bài 4 ( 2 điểm)
Điều kiện: 
Đặt 
Phương trình trở thành: 
Bài 5 ( 2 điểm)
Biến đổi tương đương phương trình đã cho
Giải (1) ta được x=kvới k
Giải (2): Ta có (2) 
 (3)
áp dụng BĐT Côsi cho 3 số: 
ta được 
do đó <
suy ra (3) vô nghiệm nên (2) vô nghiệm.
Kết luận: Phương trình có nghiệm x=kvới k
Bài 6 ( 2 điểm)
Trường hợp 1: Tam giác ABC không tù, ta có
Chứng minh bất đẳng thức trên.
Trường hợp 2: Tam giác ABC tù, không giảm tính tổng quát giả sử góc C tù, ta có: 
Vì ta có nhận xét: với C là góc tù.
Chứng minh ở trường hợp 1.
Bài 7 ( 2 điểm)
Vì 
Với , theo giả thiết:
vậy với 
vì thoả mãn công thức trên nên 
Bài 8 ( 2 điểm)
Điều kiện x,y,z>0
Với điều kiện trên hệ phương trình 
Giải hệ phương trình ta được là nghiệm của hệ phương trình.
Bài 9 ( 2 điểm)
Gọi O,M,N,P,Qlần lượt là trung điểm các cạnh: CD, AC, CB, BD, DA
Suy raMNPQ là hình bình hành và O không thuộc (MNPQ)
Ta có (MO+OP)2+(NO+OQ)2>MP2+NQ2=2(PQ2+QM2)>(PQ+QM)2
Vậy: (MO+OP)2+(NO+OQ)2>(PQ+QM)2
Hay >(AB+CD)2
> (đpcm)
Bài 10 ( 2 điểm)
Ta có 
=
 = (1)
Tính In=
đặt x= cost,
đặt 
Vậy In= (2)
Từ (1) và (2) đpcm
0.5
0.25
0.25
0.5
0.5
0.25
0.5
0.25
1.0
0.25
0.5
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
1.25
0.5
0.25
0.25
0.25
0.5
0.25
0.5
0.5
0.25
0.25
0.5
0.25
0.5
0.5
0.5
0.25
0.25
0.5
0.5
0.75
0.25
0.5
0.5
0.5
0.25
0.25
0.5
0.5
0.5
0.25
Lưu ý: Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa
 Phần nhận xét ở bài 6 nếu không chứng minh thì cho 0.25 điểm