Đề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án môn thi: Toán - Đề 42

Đề thi học sinh giỏi lớp 12
Môn Toán học – Thời gian làm bài 180 phút
Đề thi bảng A
Bài 1:	Cho y = (-m + 1) x3 + 3( m + 1) x2 - 4 mx - m .
a) Tìm các giá trị của m để hàm số luôn đồng biến .
b) Chứng minh với mọi m đồ thị hàm số luôn đi qua 3 điểm cố định thẳng hàng .
Bài 2:	Tìm các giá trị của tham số a để bất phương trình :
Được nghiệm đúng với mọi x .
Bài 3:	Giải phương trình
Bài 4:	Tìm cặp số (x; y) thoả mãn
y6 + y3+ 2 x2 = 
Bài 5:	 Cho khối tứ diện ABCD ; M là 1 điểm nằm bên trong tứ diện;AM, BM , CM, DM. Lần lượt cắt các mặt BCD; ACD; ABD; và ABC tại A1, B1 , C1 , D1.
Chứng minh rằng :
 Không đổi .
b) Tìm vị trí của điểm M để biểu thức 
Đạt giá trị nhỏ nhất .
Bài 6:	Chứng minh với mỗi số nguyên dương n thì phương trình x2n+ 1 = x + 1 . chỉ có 1 nghiệm số thực xn . Khi đó tìm lim xn 
 n
đáp án và biểu điểm 
môn Toán học thi học sinh giỏi lớp 12
Bài 1:
(1.5 điểm )
D = R 
Cần điều kiện : y’ = 3 (m + 1) x2 + 6 ( m + 1 ) x - 4 m 0
Thoã mãn với x	(0.25 điểm)
+ m + 1 = 0 => m = - 1 có y’ = 4 > 0 Thoã mãn với x
vậy m = -1 là giá trị cần tìm .	(0.25 điểm)
+ m + 1 0 = > m = - 1 . Để y’ 0 Thoã mãn với x cần điều kiện 
 hoặc m 	(0.50 điểm)
Kết luận: m 	(0.25 điểm)
b) Gọi (x0 ;y0) là điểm cố định mà đồ thị đi qua với m
=> m ((*)
Để phương trình (*) không phụ thuộc m cần 
Xét phương trình 
Gọi f(x) = là hàm số liên tục trên R 
+ Có f(0) .f(-1) phương trình f(x) = 0 có một nghiệm thuộc (-1; 0) 
(1.0 điểm)
+ Có f(1) .f(2) phương trình f(x) = 0 có một nghiệm thuộc (1; 2) 
+ Có f(-1) > 0 ; khi x thì f(x) <0.
Vậy phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc (-
Vậy phương trình f(x) = 0 luôn có 3 nghiệm .
Các nghiệm ấy thõa mãn :
Trừ hai phương trình cho nhau được : y - 4x - 1 = 0 hay các điểm cố định thuộc đường thẳng y = 4x - 1 .
Bài 2	(3 điểm )
Trước hết cần ax2 - 4x + a - 3 0 với mọi x 
	Û a 4	(0,5 điểm)
+ Nếu a < -1 thì ax2 - 4x + a - 3 < 0 với .
Bất phương trình đã cho thỏa mãn với .
 x + 1 > ax2 - 4x + a - 3 thỏa mãn với .
 ax2 - 5x + a - 4 < 0 thỏa mãn với .
 = 25 - 4a (a - 4 ) < 0 (vì a < -1) 	(1,0 điểm)
 = 4a2 - 16a - 25 > 0 	(do a < - 1) 	
+ Nếu a > 4 thì ax2 - 4x + a - 3 > 0 với .
Bất phương trình đã cho thỏa mãn với .
 x + 1 < ax2 - 4x + a - 3 thỏa mãn với .
 ax2 - 5x + a - 4 > 0 thỏa mãn với 	(1,0 điểm)
 = 25 - 4a (a - 4 ) 0) 	
 4a2 - 16a - 25 > 0 	(do a > 4) 	
Kết luận: 	(0.5 điểm) 
Bài 3: 	( 3 điểm )
Tập xác định D = R	(0,25 điểm)
Do x = 0 không là nghiệm của phương trình đã cho nên phương trình đã cho 
	(0,25 điểm)
	(0,5 điểm)
	(0,5 điểm)
Đặt Điều kiện 
 (vì )	(0,25 điểm)
Ta được phương trình mới 
2t2 - 5t + 2 = 0 	(0,25 điểm)
	(0,25 điểm)
Với t = 2 
	(0,5 điểm)
Kết luận: Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1 	(0,25 điểm)
Bài 4: 	(3 điểm ) 
Điều kiện : xy - x2 y2 hay 	(0,25 điểm)
Ta có :
xy - x2 y2 = - 	(0,25 điểm)
 ( Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi xy = )
Do đó : y 6 + y 3 + 2x2 	(0,25 điểm)
Kết hợp với giả thiết 	(0,25 điểm)
Cộng hai vế hai bất đẳng thức ta có : 
	(0,25 điểm)
Do dấu bằng xảy ra khi 1 + (2x - y )=1 
và 	(0,25 điểm)
nên ta có = 0
	(0,25 điểm)
Giải hệ này ta được 	(0,5 điểm)
Thử lại chỉ thấy : (x ; y ) = thoả mãn 	(0,5 điểm)
Bài 5:	 	(4 điểm )
a) Gọi thể tích các khối tứ diện M.BCD ; M.ACD ; M.ABC và ABCD là V1 , V2 , V3 , V4 và V khi đó :
 ; ; ; 	(1,0 điểm)
Cộng 4 đẳng thức trên = > khết quả = 1 (không đổi ) 	(0.5 điểm )
b) Theo kết quả câu a để thuận tiên gọi V1 = a2 ; V2 = b2 ; V3 = c2 ; V4= d2.
Khi đó :
 => 
Tương tự: 
.	(1,0 điểm)
Mặt khác theo Bất đẳng thức Bunhi a ta có :
(b + c + d ) 2	3 (b2 + c2 + d2 )
=>	(0,5 điểm)
Tương tự :
Dấu “=” xảy ra khi a2 = b2 = c2 = d2	(0,5 điểm)
=>T
 (Theo BĐT cô si cho 2 số không âm )
Vậy T min = 4 khi a2 = b2 = c2 = d2 
Hay M là trọng tâm tứ diện ABCD )	(0.5 điểm )
Bài 6:	(3 điểm ) 
Tập xác định D = R 	(0,25 điểm)
Phương trình đã cho 	 (*)	(0,5 điểm )
+ Nếu x : vế trái 	(0,25 điểm)
	Vậy phương trình vô nghiệm .
+Nếu 0 vế trái (*) âm = > phương trình vô nghiệm 	(0,25 điểm) 
+Nếu –1<x phương trình vô nghiệm 	(0,25 điểm)
+Nếu x > 1 xét f(x) = x là hàm số liên tục trên (1 ; +)
mà f(-1) . f(2) < 0 . nên theo tính chất của hàm số liên tục 	(0,5 điểm )
Sao cho xn (1;2 ) để f (xn ) = 0 :
với xn = 
(theo bất đẳng thức côisi )	(0,5 điểm )
Và lim 
Vậy lim xn = 1	(0,25 điểm)
 n