Đề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án môn thi: Toán - Đề 43

Thi học sinh giỏi lớp 12 môn toán Bảng A
( Thời gian 180 phút , không kể giao đề)
Bài 1( 4,0 điểm)
Cho hàm số : y = 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (Cm) khi m = 1
Tìm m để cực đại , cực tiểu của (Cm) nằm về hai phía của đường thẳng 9x –7y – 1 = 0
Bài 2( 4,0 điểm)
1)Tìm p và q để giá trị lớn nhất của hàm số y = trên là bé nhất
Gọi ( x ; y ) là nghiệm của bất phương trình . Tìm ( x; y) sao cho 2x + y lớn nhất
Bài 3 ( 4,0 điểm)
Cho cos3x – cos2x + mcosx – 1 = 0 (1)
1) Giải phương trình (1) khi m = 3
2) Tìm m để phương trình (1) có số nghiệm nhiều nhất trên 
Bài 4(4,0 điểm)
Tính 
Cho x2 +y2 =1 . Chứng minh : 
Bài 5( 4,0 điểm)
Cho tứ diện ABCD . Các mặt của tứ diện có diện tích bằng nhau . Chứng minh rằng tâm mặt cầu nội , ngoại tiếp tứ diện trùng nhau.
Cho tứ diện ABCD và một mặt phẳng (P) . Tìm trên mf (P) điểm M sao cho nhỏ nhất
Hướng dẫn chấm và thang điểm thi học sinh giỏi 12 môn toán bảng a
Bài
 Hướng dẫn chấm 
Điểm
1
Khi m = 1 
*) Tập xác định : x 
*) Sự biến thiên : 
Ta có bảng biến thiên
 x -Ơ -2 1 4 +Ơ
 y’ + 0 - - 0 +
 CĐ +Ơ +Ơ
 y
 -Ơ -Ơ CT 
*)Hàm số đạt cực đại tại x = -2 ị yCĐ = -3
đạt cực tiểu tại x = 4 ị yCT = 9
*)x = 1 là tiệm cận đứng vì Lim f(x) = -Ơ và lim f(x) = +Ơ
 xđ1- xđ1+ 
*) y = x + 2 là tiệm cận xiên vì lim(f(x) –x – 2 ) = lim
 xđƠ xđƠ
y
Đồ thị : dạng đồ thị 
9
1
4
-2
O
x
-3
-7
2)Tập xác định x ạ 1 ; y’ = 0 Û x =-2 ; x = 4
Vậy với mọi m thì (Cm) luôn có cực đại và cực tiểu. Theo câu 1) ta có yCĐ= m – 4 tại x = -2 ; đặt A ( -2 ; m – 4 )
yCT = m + 8 tại x = 4 ; đặt B ( 4 ; m + 8 )
A ; B nằm hai phía của đường thẳng 9x – 7y – 1 = 0 Û
(9xA – 7yA – 1 )( 9xB – 7yB – 1 ) < 0
Û ( 9 -7m )( -21 – 7m) < 0 Û -3 < m < 
Vậy m thoả mãn bài toán
0,25
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
2
1)Đặt y = f(x) = x2 + px + q ; h(x) = . Gọi max h(x) = h() ta có f(0) = q ; f(1) = 1+p + q ; f(-1) = 1- p + q ; 
Nếu p > 0 ị h(
Nếu p < 0 ị h(
Chú ý : Max h(x) = max
*) Nếu p = 0 ị f(x) = x2 + q ; f(0) = f(-) = q ; f(±1) = 1 + q
Giá trị lớn nhất của h(x) là một trong 2 giá trị 
Nếu 
Nếu q < -
Nếu q = - cũng là giá trị nhỏ nhất của h(a) .Vậy p = 0 ; q = - thoả mãn bài toán
 2) 
Trường hợp 1: Nếu (x;y) thoả mãn (I) ta có x2 +2y2 . Theo bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có 
đúng với mọi x ; y thoả mãn (*) . Dấu “=” xảy ra 
Vậy x = 2 ; y = thì 2x + y lớn nhất
Trường hợp 2 : ( x ; y ) thoả mãn (II) ị 2x + y không đạt giá trị lớn nhất
Vì từ (II) 
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,5
0,5
0,5
0,5
3
 cos3x – cos2x + mcosx – 1 = 0 (1) 
1) Với m = 3 thì (1) 
Xét phương trình (2) 
x
Y
-
O
2
-
Vẽ đồ thị hàm số y = cosx trên 
y=t1
y=t2
Số nghiệm của (2) là số giao điểm của y = t và y = cosx trên với t là nghiệm của (3) . Phương trình (1) có số nghiệm nhiều nhất trên khi và chỉ khi phương trình (3) có hai nghiệm t1 < t2 thoả mãn 
0 < t1 < t2 <1 
0,5
0,5
0,25
0,25
0,5
4
1) I = .Đặt t = 
dx = - dt ; sinx = sint ; cos2x = cos2t
2) Đặt x = sint ; y = cost 
Ta có sin5t = 16sin5t –20sin3t + 5sint 
 Cos5t = 16cos5t – 20cos3t + 5cost
ịsin5t = 16x5 –20x3 + 5x ; cos5t = 16y5 – 20y3 +5y
Dấu “=” xảy ra Û 
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
5
B
M
H
K
A
D
I
Đ’
I’
C
C’
K’
P
Dựng mf(P) ^ AB tại M . Gọi DK ; CH là các đường cao của tam giác DAB và tam giác CAB . Do dt DDAB = dtDCAB ị DK’ = CH. Gọi C’ ; D’ lần lượt là hình chiếu của C ; D trên (P) ị MC’ = MD’ vì CH // (P) ; DK// (P) ịDMC’D’ cân tại M ị MI’ ^ C’D’ ; I’ là trung điểm C’D’
Kẻ II’ // AB ; ( I ẻCD ) ; IK //MI’ ị MKII’ là hình chữ nhật. Vậy IK là đường vuông góc chung của AB và CD và I là trung điểm CD
*) Vai trò A ; B ; C ; D bình đẳng . Bằng cách dựng tương tự mf(P’) ^ Cd ta chứng minh K’ là trung điểm của AB và I’K’ là đường vuông góc chung của AB và CD ị I’º I ; K’º K 
Do đó tứ diện ABCD có các đường trung bình đồng thời là đường vuông góc chung
A
C
D
O
P
Q
I
K
Gọi O là trung điểm IK ị OA = OB = OC = OD vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD 
*) VKBCD = VKACD
ị KI ẻ mf phân giác của góc phẳng nhị diện cạnh CD và AB . Tương tự PQ ẻ mf phân giác của góc phẳng nhị diện cạnh AC và BD. Vì KI O cách đều các mặt của tứ diện ABCD . Vậy O là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD 
2) 
A
B
C
D
I
ị
N
Gọi I ; J là trung điểm AB và CD ; N là trung điểm của IJ . Với M bất kỳ ta có
ị bé nhất Û M là hình chiếu của N trên mặt phẳng (P) 
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
1,0