Đề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án môn thi: Toán - Đề 45

Đề Thi học sinh giỏi Lớp 12
Môn: Toán
Thời gian: 180 Phút
Giáo viên ra đề : Trịnh Văn Hùng
Bài 1 : (4điểm ) 
 Cho đường cong ( Cm) : ( m là tham số và |m |ạ 2)
Tìm các điểm trên trục hoành mà từ đó vẽ được hai tiếp tuyến với đường cong (Cm ) mà chúng vuông góc vơí nhau.
(Giải tích - Toán nâng cao 12 Tác giả Phan Huy Khải )
b) Cho In = với n là số tự nhiên
Tìm 
( Toán nâng cao lớp 12 Phan Huy Khải )
Bài 2: (4 Điểm )
a) Giải và biện luận phương trình sau theo tham số a
	- =1
( Toán bồi dưỡng học sinh : nhóm tác giả Hàn Liên Hải , Phan Huy Khải )
b) Giải bất phương trình 
	- 2>
( Toán bồi dưỡng học sinh : nhóm tác giả Hàn Liên Hải , Phan Huy Khải )
 Bài 3 ( 4điểm )
a)Giải Phương trình :2sin(3x+) =
b) Tam giác ABC có các góc thõa mãn : 2sinA+ 3sinB+4sinC = 5cos +3cos +cos
 Chứng minh rằng : tam giác ABC là tam giác đều .
( Báo Toán học tuổi trẻ 5/2004)
Bài 4(4điểm) : 
a)Cho n là số nguyên dương , hãy tìm giới hạn A = 
( Toán bồi dưỡng học sinh : nhóm tác giả Hàn Liên Hải , Phan Huy Khải )
b) Giải hệ phương trình 
(Đại số sơ cấp tác giả Trần Phương)
Bài 5 ( 4điểm) : 
a) Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình thang có cạnh AD =2 BC. Gọi M,N là hai trung điểm của SA , SB tương ứng .Mặt phẳng (DMN ) cắt SC tại P. Tính tỉ số điểm P chia đoạn thẳng CS . 
( Toán bồi dưỡng học sinh : nhóm tác giả Hàn Liên Hải , Phan Huy Khải )
b) Cho a,b,c là các số thực lớn hơn 2
Chứng minh rằng :++³3
( Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức ,tác giả Trần Phương)
 .................................... Hết ...........................................
Đáp án
Câu 1
Gọi M(x0;0 ) là điểm cần tìm . Đường thẳng ()qua M có hệ số góc k có phương trình y= k( x-x0)
Để() là tiếp tuyến của đường cong thì phương trình sau có nghiệm kép (0,5đ)
( 1- 2k) x2+(m+2kx0-mk)x +1+mkx0=0 có nghiệm kép 
	(I ) 
Bài toán trở thành tìm điều kiện để (I) có hai nghiện phân biệt k1, k2
và k1.k2 = -1 (0,5đ)
thay (2) vào (3) ta có : (2x0-m) 2 +m2 + 12 ạ 0 (4)
Vì (4) đúng nên hệ (I) Û (3) 
Điều kiện cần tìm là :
 ( 2x0 +m)2 = 4-m2 ( vì m 2) (5)
Nếu m > 2 thì (5) vô nghiệm 
 Nếu m < 2 thì (5) có hai nhghiệm cần tìm với x0 = 
Vậy có hai điểm M(x0;0) cần tìm với x0 = (0,5đ)
b) Ta có x ẻ ( 0;1) thì : > ị In > In+1
Mặt khác vì > 0 " x ẻ (0;1) In >0 " n
Vậy {In} là dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới , nên tồn tại 
 (0,5đ)
Ta có In + In+1 = = = -
 In = - In-1 (*) (0,5đ)
Rõ ràng : =
 =0 nên từ (*) suy ra 2 = 0
 = 0 (0,5đ)
Bài 2:
a) Giải và biện luận phương trình theo tham số a:
	- =1
Û 
 (0,5đ)
Ta xét các trường hợp sau:
+) Nếu a a nên hệ (2) (3) (4) vô nghiệm tức là (1) vô nghiệm
+) Nếu a=0 thì hệ (2), (3), (4) có nghiệm duy nhất x=0
+) Nếu a >0 thì ta có 
Xét tam thức f(x) có f()= -2a 0
Vậy theo định lí đảo (4) có hai nghiệm x1,x2 thoã mãn x1< < x2 < a (1đ)
Kết luận 
+) Nếu a < 0 thì (1) vô nghiệm
+) Nếu a ³0 thì (1) có nghiệm duy nhất x= (0,5đ)
b) Giải bất phương trình 
	- 2> (1)
Nhân biểu thức liên hợp vế trái ta có ( Với x ẻ [-2;2] )
 (0,5đ)
 (0,5đ)
Do 8+x+2 nên (2) (3x-2) (x-2
Tập nghiệm của bất phương trình T = [ -2; )ẩ( ; 2] (1đ)
Bài 3 ( 4điểm )
a)Giải Phương trình :2sin(3x+) =
 (0,5đ)
Giải (2):
(2) Û 2[1-cos(6x + ) ] = 1+ 8sin2x(1-sin22x)
 Û 2+ 2sin6x = 1+ 8sin 2x-8sin32x
 Û 2+ 2(3sin2x-4sin32x) = 1+8sin2x-8sin32x
 Û sin2x = Û (k,lẻZ ) (0,5đ)
+)Thay x= + kả vào (2) ta có :
VT(2) = sin(khi k=2n ,n ẻ Z
 x= + 2nả là nghiệm của (1).
+) Thay x= vào (2) ta có :
VT(2) = sin(³ 0 khi l=2m-1;m ẻZ 
 x= là họ nghiệm của (1)
Vậy (1) có hai họ nghiệm : x= + 2nả và x= ; (n,mẻZ) (1đ)
b) Ta có sinA +sin B = 2 sincos dấu ( = ) xảy ra khi và chỉ khi (sin A + sinB ) chỉ khi A = B (1)
Tương tự : (sin B + sinC ) (2)
(sin C + sinA ) (3) (1đ)
Từ (1), (2), (3), suy ra : 2sinA + 3sin B + 4 sin C 5cos +3cos +cos
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều. (1đ) 
Bài 4 : 
a)Cho n là số nguyên dương , hãy tìm giới hạn A = 
 ta có xk -1 = (x-1)(1+x+x2+ .+xk-1) (0,5đ)
 (0,5đ)
Vậy : A = (0,5đ)
b) Giải hệ phương trình 
 (1)
Xét hàm số : f(t) = với tẻ(0; + )
đồng biến trên (0; + ) (0,5đ)
(1) viết dưới dạng f(x) = f(y)
(I) 
Xét hàm số q(x) = trên (0;+)
nghịch biến trên (0;+) (0,5đ) 
Nên (4) có nghiệm thì là nghiệm duy nhất , do g(1) =4
Vậy x=1 là nghiệm duy nhất của (4).
Khi đó hệ (II) trở thành 
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=y=1 (0,5đ)
Bài5 :
a) Đặt DA = a ; DC = b ; DS = c;
Từ giả thiết ta được CB = vì P trên CS 
nên đặt: CP = x.CS M, N, P, D ở 
trên cùng mặt phẳng nên DM, DN,	
DP đồng phẳng ta có:
	DN	= aDM +bDP	(1)
Vì M là trung điểm của SA nên: DM = = 	 (2)
Vì N là trung điểm của SB nên: DN = = = + + (3)
Ta có: DP = DC + CP = b + xCS = b + x(c - b)
	DP = (1-x)b + xc	(4) (0,5đ)
Từ (1), (2), (3) và (4) ta có: 
 + + = c + a + +
+ + = a + b (1-x) b + ( + bx) c
Vậy P trên SC sao cho CP = CS hay P chia đoạn thẳng CS theo tỉ số k=-
b) Ta có (0,5đ)
Tương tự : 
VT(1) 2() (0,5đ)
Bổ đề Với x,y,z>0 thì + + (*)
Thật vậy (*) ( +1) + ( +1)+(+1) +3 
 [ (y+z) +(z+x) +(x+y) ]. (+ +) 9 (**) Theo Côsi thì (**) thoã mãn
 . (0,5đ)
áp dụng bổ đề ta có : VT(1) 3 (ĐPCM) (0,5đ) 
Hết