Đề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án môn thi: Toán - Đề 47

Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 THPT
Môn thi: Toán - bảng A
(thời gian làm bài: 180 phút)
Câu 1: (2đ)
 Không dùng bảng số hoặc mấy tính cá nhân chứng minh: 
 tg 550 > 1,4.
Câu 2: (2 đ )
 Chứng minh 
 Và suy ra giá trị của chúng .
Câu 3 ( 2 đ ) 
 Biện luận theo m số nghiệm ccủa phương trình 
Câu 4: ( 2 đ )
 Tìm m để phương trình: x4 – (2m + 3 ) x2 + m + 5 = 0 
 Có các nghiệm thoả mẫn: - 2 < x1 < -1 < x2 < 0 < x3 < 1 < x4 < 2.
Câu 5: (2đ)
 Tìm nghiệm trên khoảng ( 0 : ) của phương trình 
Câu 6 (2đ) Trong tam giấc ABC có các góc và các cạnh thoả mãn:
	 (1)
Chứng minh tam giác là tam giác cân
Câu 7: ( 2 đ ) 
 Tìm giới hạn E = (m,n )
Câu 8: (2đ)
 Giải hệ phương trình : 
Câu 9 (2đ) 
 Cho 2 đường tròn 
 (C1 ) : x2 + y2 – x – 6y + 8 = 0
 (C2 ): x2 + y2 – 2mx – 1 = 0 
 Tìm m để (C1 ) và ( C2 ) tiếp xúc với nhau Nói rõ loại tiếp xúc.
Câu 10 (2đ)
 Chứng minh rằng nếu n là số nguyên, n1 thì
 > 
Hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 12 THPT
Môn toán- bảng A
Câu
Hướng dẫn chấm
Điểm
1
Câu 1: 
Ta có: 
Xét hàm số : f(x) = ta có:
f’(x) = > 0 .Vậy f(x) đồng biến x (- ;1) hoặc x (1;+).
Theo (1) ta có tg550=f(tg)> f( )>f( =1,4 
 (0,5đ)
 (0,5đ)
 (0,5đ)
(0,5đ)
2
Đặt t= -x dt = - dx.
Ta có: = =
== (1)
Mặt khác: +==. (2)
Từ(1) và (2): ==
(0,5đ)
(0,25đ)
(0,5đ)
(0,5đ)
(0,25đ)
3
 (1)
Đặt t= (t0) (2)
	t2 = 
	Ta có: t=2.
Từ (2) = 2 x4+4x+m=16.
	-x4-4x+16=m
Đặt: f(x)= -x4-4x+16
f’(x) = -4x3-4=-4(x3+1)
f’(x)=0x=-1và f(-1)=19
= - 
Bảng biến thiên của f(x)
x
- -1 +
F’(x)
 + 0 -
F(x)
 19
- - 
Từ bảng biến thiên ta có bảng biện luận theo m số nghiệm của (1) như sau:
m
Số nghiệm của phương trình (1)
+
19
-
 0
 1
 2
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
4
Đây là phương trình trùng phương
Đặt t= x2 0; khi đó phương trình đã cho có dạng:
 t2 – (2m+3)t +m+5 = 0 (2).
Phương trình đã cho có 4 nghiệm x1;x2;x3;x4 khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm dương t1 ; t2 dương.(0<t1<t)
Khi đó:
 , và 
Do đó: - 2< x1 <-1 < x2 < 0 < x3 < 1< x4 < 2
(Không có m thoả mãn )
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
5
Ta có: 
+k2
Do x nên ở họ ( 2 ) chỉ lấy được k = 0, k = 1
 ở họ ( 3 ) chỉ lấy được k = 1
Vậy các nghiệm là: 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
6
 ( 1)
Ta có:
(1) 
 ( Vì -
 hay là tam giác cân tại C.
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
7
Ta có:
E = =
= 
= 
 E= 
 E=
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
8
Đặt t = 2x – y
Khi đó hệ (I):
Ta có:
(1) 
 (3)
Đặt ; g(t) = 1+2. 2t 
Ta có: f(t) là hàm số giảm, g(t) là hàm số tăng 
 Và f(1) = g (1)
Do đó: (3) 
Vậy hệ (I) 
Đặt h(y) = y3 + 2y + 3 + ln ( y2+ y +1 )
Ta có: h’(y) = 3y2 + 2 + 
 = 
 = 
h’(y) >0 h(y) là hàm số tăngvà h(-1) = 0
Vậy (I) 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
9
Phương trình của ( C1) và ( C2 ) có dạng sau:
(C1): 
(C2): (x-m)2 + y2 = m2 + 1
Vậy ( C1) là đường tròn với tâm O1 và bán kính R1 = ; (C2) là đường tròn với tâm O2 (m,0) và bán kính R2 = 
Ta có: O1O2 = 
a, ( C1) và ( C2) tiếp xúc ngoài nếu R1+R2 = O1O2
	m
m=2 hoặc m = -
b, (C1) và (C2) tiếp xúc trong nếu 
 (1)
+) nếu thì R2 > R1, do vậy từ (1) ta có 
 (Hệ vô nghiệm)
+) nếu thì R1 > R2 , lập luận tương tự trên ta có được hệ vô nghiệm.
Kết luận: Để (C1) và (C2) tiếp xúc với nhau thì m = 2
 hoặc m = - và khi đó mọi sự tiếp xúc đều là tiếp xúc ngoài
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
10
áp dụng bất đẳng thức côsi cho n+1 số gồm n số 1+ và số 1 ta có:
Dấu đẳng thức không thể xảy ra vì 
Vậy >
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ