Đề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án môn thi: Toán - Đề 5

đề thi học sinh giỏi khối 12 
Thời gian :180’	Môn : Toán 
1-Bài 1: (3 điểm)	Cho tích phân .	()
 a-Tìm hệ thức giữa In và In+2
	b-CMR : hàm số f(n)=(n+1)In In+1 thoả mãn f(n+1)=f(n).
	c-Tính f(n)
2- Bài 2 : (4 điểm) a- Giải bất phương trình sau : < 2x+9.
	 b- Tìm m để hệ sau có nghiệm: 3- Bài 3 : ( 3 điểm)	Cho dãy số thực a0;a1;a2;....................;an;........ thoả mãn :
 . Dãy bn xác định như sau : 
 a- CMR: < 2.
	 b-CMR : Mọi C cho trước C với vô số chỉ số n.
 4- Bài 4 : ( 3 điểm )	Cho CMR: Điều kiện cần và đủ để trên đoạn AB tồn tại điểm D sao cho CD là trung bình nhân các độ dài AD ;BD là: 
	 	 .
5- Bài 5 : (3 điểm). CMR x1>0 ; x2>0 ; x1y1-z12>0 ; x2y2-z22>0. Thì :
 Dấu bằng xảy ra khi nào?
6- Bài 6 : ( 4điểm)
Cho hình vuông ABCD cạnh a. và một tam giác đều SAB nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau.I là trung điểm của AB, M là một điểm chạy trên AB.
	1-CMR : Vẽ giao tuyến và tính góc phẳng nhị diện của (SAD) và (SBC).
	2- Vẽ MN; MQ lần lượt song song với BS,BC. (N).Mặt phẳng
	a- 	CMR: MNPQ là hình thang vuông, . Tìm quĩ tích R khi M di chuyển trên AB.
	b-	Đặt AM=x. Tính diện tích hình thang MNPQ theo a và x, xác định x để diện tích đạt giá trị lớn nhất .Tính diện tích lớn nhất đó.
đáp án thi học sinh giỏi khối 12 
1- bài 1: ( 3 điểm)
	a- Tìm hệ thức giữa In và In+2 . ta có In+2= (*) (0,5)
đặt (0,25)
vậy (0,5)
vậy (*) trở thành
	In+2 = In - In+2 (n+1)In = (n+2) In+2 (0,25)
	b- CM : f(n+1) = f(n) 
từ f(n)=(n+1) InIn+1 : f(n+1) )=(n+2) In+1In+2 . mà (n+1)In = (n+2) In+2 (0,5) nên ta có
f(n+1) )=(n+1) InIn+1 = f(n) (0,25)
	c- Tính f(n) 	ta có (0,25)
f(n)=f(1) =2.I1I2 =2. (0,5)
vậy f(n) = với .
2- Bài 2: (4 điểm)
a- (2 điểm) Để vế trái có nghĩa : 
điều kiện : (0,25)
Ta nhận thấy rằng 
 (0,25)
Vậy (0,25)
BPT : : ( 1+ )2 < 2x + 9 (0,25)
 1+1 +2x + 2 < 2x + 9 (0,25)
 < 
 1+ 2x < (0,25)
 2x < - 1 = 
x < (0,25)
Kết hợp với điều kiện :
Tập hợp nghiệm của BPT : x \ (0,25)
b- (2 điểm)
(0,5)
Đặt Sinx = u ; Siny = v . Khi đó hệ trở thành :
(1)
(2) 
 (0,5)
 (3)
- Các điểm thoả mãn ( 3) nằm trong hình vuông MNPQ .
đường thẳng (1) nằm trong hình vuông là đoạn thẳng AB . 
A( ; B ( (0,25)
Nên ta phải tìm m để đường tròn tâm 0 bán kính r = cắt đoạn AB.
Ta thấy OA = OB = khoảng cách từ O đến AB là OC = (0,25)
Vậy để đường tròn ( 2) cắt AB. Trong hình vuông ta phải có 
 (0,5)
với mthì hệ có nghiệm
3-Bài 3 : ( 3 điểm)
 a- ta có :vì vậy 1-=> : (0,5)
mặt khác : 
 vậy bn 
vậy < 2. (0,5)
 b- Nếu chọn C thoả mãn	1 thì p(P+1) >2>q ) (0,5)
xét dãy thoả mãn 1=a0<a1<a2<a3< .......<an<....... đồng thời (0,25)
 = (0,5)
vì 0 =0 do đó mà q>C nên nếu nđủ lớn thì bn > C. (0,25)
4-Bài 4: ( 3 điểm)
 (0,5)
 * Điều kiện cần : (1điểm)
 Giả sử : CD2 =AD.BD Ta có :
* Điều kiện đủ : (1,5 điểm)
Từ SinA.SinB (0,25)
 2SinA.SinB + CosC 1 Mặt : SinA.SinB > 0 (0,25)
=> 2SinASinB + Cos C > CosC > -1 
Vậy : : 0 để Cos =2SinASinB + Cos C 
0 C và Cos > CosC nên <C (0,25)
=> SinA.SinB =
( Rõ ràng C1+C2 = C . Vì vậy (0,25)
Trong tam giác từ C ta có thể kẻ Cx. Sao cho chia C thành C1và C2 Cx cắt AB tại D. Thì D là điểm cần tìm . (0,25)
Từ : SinA.SinB=SinC1SinC2 => CD2 = AD.BD (0,25)
5-Bài 5: (3 điểm )
 Đặt :
 F(x) = x1 X2 -2z1X +y1. 
 G(x) = x2 X2 - 2 z2X + y2 H(x) = F(x) + G(x) (0,5)
Đặt : D1= x1y1 - D2 = x2y2 - z22 D= (x1+ x2 ) (y2+y2)-(z1+z2)2 (0,25)
Vậy F(x)=x1 mọi X ta có F(X) dấu bằng xảy ra X=z1/x1
Tương tự G(X) dấu bằng xảy ra X=z2/x2 (0,5)
H(X) dấu bằng xảy ra X= khi X=ta có + dấu bằng xảy ra khi z2/x2= z1/x1 (0,5)
Vậy (0,5)
Theo bất đẳng thức cô si cho hai số: 
 nghĩa là (0,5) 	 dấu bằng xảy ra khi z2/x2= z1/x1; x1=x2 ;D1=D2 ú x1=x2 ; y1=y2; z1=z2. (0,25)
(1 điểm) 1- (1điểm) Ta có AB= (SAB) (ABCD)
 SI AB và (SAB) (ABCD)
Nên SI AD => AD (SAB) mà AD nằm trong (SAD) =>(SAD) (SAB)
SI BC => BC (SAB) mà BC	nằm trong(	SBC) =>(SBC) (SAB)
AD (SAD)
BC (SBC)
S= (SAD) (SBC); AD//BC vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng đi qua S và song song với BC , Đó là St => St (SAB)=> St SB và St SA nên góc ASB là góc phẳng nhị diện của (SAD)và (SBC)và có độ lớn bằng 600
 2-a- (1 điểm) Ta có (MNQ) //AD; NP= (MNQ) (SAD);MQ//AD;MQ (MNQ); AD (SAD) =>NP//MQ
mặt khác MQ AB (SAB); AB =(SAB) (ABCD) =>MQ MNvà NP MNvậy MNPQlà hình thang vuông tại M,N
gọi R=MN PQ => SD//CD//AB từ Sta kẻ Sz //AB.
Khi M chạy trên AB thì Rchạy trên Sz
khiMAthì R L .L là giao của Sz với đường thẳng đi qua Avà song song với SA
khiMB thì R Svậy quĩ tích của R là đoạn SL
 2-b- (1 điểm) Tam giác AMN là tam giác đều => MN=NA=AM=x
tam giác SNP vuông cân vì NS=NP= a-x
ta có SMNPQ =
khi 2a-x=x úx=a chính khi PNS.