Đề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án môn thi: Toán - Đề 7

Đề thi học sinh giỏi lớp 12 thpt
môn toán 
(Thời gian làm bài 180 phút)
Câu 1: (5 điểm)
Cho hàm số y= x + 	(Cm)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
2. Tìm m để (Cm) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt, mà 2 tiếp tuyến tại đó vuông góc với nhau.
Câu 2: (3 điểm)
1. Giải phương trình sau: ỗx - 2ỗ2006 + ỗx - 1ỗ2006 = 1
2. Giải bất phương trình sau: x log22 x - 2x log2 x ³ - log22 x + 5 log2 x - 6
Câu 3: (4 điểm):
1. Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng "xẻ[-2;4]
- x2 + 2x + 4+ m ³ 0
2. Tính 
Câu 4: (5 điểm).
1. Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau. Tính tổng tất cả các số đó?
2. Cho Parabol (P): y2 = 8x. Tìm quỹ tích tất cả các điểm M sao cho từ M ta kẻ được hai tiếp tuyến tới (P) vuông góc với nhau.
Câu 5: (3 điểm).
Cho lăng trụ tam giác ABC. A1B1C1 đứng có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BB1 và CC1, I là trọng tâm tam giác ABC. Đường thẳng d qua I cắt AB1 và MN lần lượt tại P và Q. Tính độ dài đoạn PQ theo a.
______________Hết ___________
Hướng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT
môn toán 
(Thời gian làm bài 180 phút)
Câu 1: (5.0 điểm).
1. m = 1 hàm số trở thành y = x + 	3đ
TXĐ: D = R /{1};	y’ = 1 , y’ = 0 Û 	0,5đ
ị y’ > 0 	 xẻ (- Ơ; 0) U (2; + Ơ)
y’ < 0 	Û xẻ(0;1) U (1; 2)
Hàm số đồng biến trên các khoảng (- Ơ; 0) và (2; + Ơ)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0;1) và (1; 2)	0,5đ
ị ycđ = y (0) = - 1 , yct = y (2) = 3	0,5đ
y = = ± Ơ
ị Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
 (y - x) = = 0 ị ĐT y = x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
 y = = ±Ơ	0,5đ
Bảng biến thiên:	
xxx
- Ơ
-1
1
2
+Ơ
0
- Ơ
+ Ơ
1
+ Ơ
0
0
+ 
-
-
+ 
	y’
0.5đ
	 y
Đồ thị:
Đồ thị hàm số không cắt trục Ox, cắt trục Oy tại điểm (0; - 1) 
0.5đ
1
3
- 1
y
x
I
	O	1	2
có 2 N0pb x1, x2 khác 1 (1)	2,0đ 
 (2) 	0,5đ
2. Bài toán Û tìm m để: 
(1) Û x2 - x + m = 0 (3) có 2 Nopb x1, x2 khác 1
Û Û 	0,5đ
(2) Û = -1Û m = 1/5 (Theo ĐL Viet PT (3)) 	0,75đ
KL: m = là giá trị cần tìm.	0,25đ
Câu 2: (3 điểm)
1. Giải phương trình: |x -1|2006 + |x -2|2006 = 1	1.5đ
Nhận xét: x = 1 và x = 2 là hai nghiệm của phương trình 	0.5đ
+ x > 2 => | x -1| > 1 => | x -1|2006 > 1 => VT > 1 = VP => PTVN.
+ x | x -1| > 1 => | x -2|2006 > 1 => VT > 1 = VF => PTVN
+ 1 
0 < | x -2| < 1 
=> VT < | x -2| + | x -1| = x - 1 + 2 - x = 1 = VF
0 < | x -1| < 1 
=> PTVN 	0.75đ
KL: Phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 1 và x = 2	0.25đ
2. ĐK: x > 0	1.5đ
BPT 	 (x + 1) log22 x - (2x + 5) log2 x + 6 > 0	
 (log2 x - 2) (log2 x - ) > 0 	(*)	0.5đ
TH1: 
(Vì hàm số y = log2 x - đồng biến trên (0; + Ơ))
=> x ẻ 	0.5đ
	 TH2: 2 x => x ẻ (0; )
TH3: 2 = x = : (*) (log2 x - 2)2 > 0, " x > 0 => x = 1/2 t/m.
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là: (0;2]ẩ[4;+Ơ)	0.5đ
Câu 3: (4 điểm)
1. Xét f(x) = - x2 + 2x + 8 với x ẻ[-2;4]	2,0đ
Ta có: x0 = 1ẻ[-2;4], f(1) = 9, f(-2) = 0, f(4) = 0
=> Tập giá trị của f(x) trên [-2;4] là ([0;9] 	1,0đ
Đặt: t = , 0 < t < 3
=> Bài toán tìm m để t2 + 4t + m - 8 > 0, "t ẻ[0;3]	0.5đ
Xét g(t) = t2 + 4t + m - 8 trên đoạn [0;3]
Ta có: t0 = 2 ẽ [0;3], g(t) đồng biến trên đoạn [0;3], g(0) = m - 8, 
g(3) = m + 13. Suy ra g(t) > 0, "t ẻ[0;3] m - 8 > 0 m > 8. 	0.5đ	
2. I = 	2,0đ
= - cosx + sinx + C1 - 	0.5đ
J = dx	0.5đ
= 	0.5đ
Suy ra: I = - cosx + sinx - 	0.5đ
Câu 4: (5 điểm)
1. - Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được = 120 số tự nhiên có 3 	2,5đ
chữ số khác nhau. 	
- Tính tổng các số lập được: 	0.5đ
Có số có chữ số 6 đứng ở hàng đơn vị 
Có số có chữ số 5 đứng ở hàng đơn vị
Có số có chữ số 4 đứng ở hàng đơn vị
Có số có chữ số 3 đứng ở hàng đơn vị
Có số có chữ số 2 đứng ở hàng đơn vị
Có số có chữ số 1 đứng ở hàng đơn vị
=> Tổng các chữ số hàng đơn vị là: 
 (1 + 2 + 3 +4 + 5 + 6) = 420	1,0đ
Tương tự: 	Tổng các chữ số hàng chục là: 420 	
Tổng các chữ số hàng trăm là: 420 	0.5đ
Vậy tổng các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau lập được từ các số đã cho là:
 420 .100 + 420.10 + 420 = 46620	0.5đ
2. Gọi M (x0; y0), hai tiếp tuyến vuông góc với nhau của (P) qua M là d1và d2 	2,5đ.
Giả sử PT d1 là: A (x - x0) + B (y - y0) = 0 (A2+B2 ạ 0)
 Ax + By - (Ax0 + By0) = 0 	0.5đ
=> Phương trình d2 là: Bx - Ay - (Bx0 - Ay0) = 0	0.5đ
Theo giả thiết: d1, d2 tiếp xúc với (P) nên ta có hệ phương trình 	0.5đ
4B2 = 2A (-Ax0 - By0) 	(1)
4A2 = 2B (-Bx0 - Ay0) 	(2)
Từ hệ phương trình suy ra A.B ạ 0 	0.5đ
Từ (2) ta có: y0 = thay vào (1) ta được x0 = -2 	0.5đ
P
Vậy quỹ tích cần tìm là đường thẳng x = -2 	0.5đ
Câu 5: (3 điểm)
J
C1
B1
A1
Q
N
M
	 	0,25 đ
B
C
F
I
A
Theo giả thiết lăng trụ có hai đáy là hai tam giác đều cạnh a, ba mặt bên là ba hình vuông cạnh a. 	0.25đ
- Dựng PQ: Kẻ qua I đường thẳng song song CB cắt AB tại F. Trong mặt phẳng (ABA1B1), đường thẳng FM cắt đường thẳng AB1tại P. 
IF // BC // MN => Trong mặt phẳng (IFMN) đường thẳng IP cắt MN tại Q. Vậy P, Q là hai điểm cần xác định. 	1,0đ	
- Tính PQ: Đường A1B1 cắt PF tại J. Do M là điểm BB1 nên BF = B1J. 
I là trọng tâm tam giác đều ABC nên BF = AF = a/3.
=> B1J = AF => 4PM = 3FP (vì M là trung điểm của FJ và J là trung điểm PF) => 4 PQ = 3 PI. 	0.5đ
- Mặt khác: FP = 4 MF = 4 
FI = BC = , MI = 
=> Cos é IFM = 	0.5đ
=> IP2 = IF2 + FP2 - 2IF.FP. cos é IFM = 
=> PQ = PI = . Vậy PQ = 	0.5đ
(Thí sinh có thể làm bài này theo phương pháp toạ độ)
______________Hết ___________