Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn thi: Toán (Bảng B) - Đề 4

đề thi học sinh giỏi kớp 12
môn thi : toán (Bảng B)
Thời gian: 180 phút.
Câu1:
Cho hàm số 
1.Khảo sát hàm số khi m =1.
2.Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng cách giữa CĐ và CT nhỏ hơn .
Câu2:
1.Tính tích phân : 
2.Cho hàm số : 
Tính đạo hàm của hàm số tại x0=0.
Câu3:
1.Giải bất phương trình: 
2.Giải phương trình : .
Câu4:
1.Giải phương trình : .
2.Xét các tam giác ABC .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
Câu5:
1Cho Parabol (P) có phương trình : và gọi F là tiêu điểm của Parabol.
CMR nếu một đường thẳng đi qua F và cắt (P) tại hai điểm A , B thì các tiếp tuyến của (P) tại A , B vuông góc với nhau.
2.Cho tam giác ABC cân tại A .Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp .D là trung điểm của cạnh AB .E là trọng tâm của tam giác ACD.
CMR: IE ^ CD. 
đáp án đề thi học sinh giỏi kớp 12
môn thi : toá 
 Thời gian: 180 phút.
Câu1:
1.Khi m= 1 ta có hàm số: (1) 0.25Đ
*.TXĐ: D= R\ {1} 0.25 Đ
*.Sự Biến Thiên:
a.Chiều biến thiên:
Bảng xét dáu :
 x
-∞ 0 1 2 +∞
 y/
 + 0 - - 0 +
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) ẩ (2; +∞)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0 ; 1) ẩ (1 ; 2) 0.25Đ
b.Cực trị: 
Hàm số đạt cực đại tại x= 0 và yCĐ=-3
Hàm số đạt cực tiểu tại x=2 và yCT=1. 0.25Đ
c.Giới hạn:
Đường thẳng x= 1 là tiệm cận đứng.
Đường thẳng y = x-2 là tiệm cận xiên. 0.25Đ
d.Bảng Biến Thiên: 0.25Đ
 x
-∞ 0 1 2 +∞
 y/
 + 0 - - 0 +
 y
 -3 +∞ +∞
-∞ -∞ 1
*.ĐồThị: 0.5Đ
2.Ta có : = 0.25Đ
Hàm số có cực trị phương trình y/=0 có hai nghiệm phân biệt
có hai nghiệm phân biệt ≠1
 (1) 0.5Đ
Ta lại có :
Khi y/=0 0.25Đ
Giả sử hàm số có CĐ và CT là A(x1 ; y1) và B(x2 ; y2)
Vì y/(x1)=0 nên y1=2x1-5m+2
Vì y/(x2)=0 nên y2=2x2-5m+2
Suy ra A(x1 ; 2x1-5m+2) và B(x2 ; 2x2-5m+2) 0.25Đ
Khi đó AB2=5(x1-x2)2 = 5(x1+x2)2-20x1x2 (2) 0.25Đ
Do x1 và x2 là nghiệm của phương trình g(x) = 0 nên áp dụng định lý vi-ét ta có
 (3)
Thay (3) vào (2) ta được AB2= 80-60m 0.25Đ
Theo giả thiết AB<2 (4)
Kết hợp (1) và (4) ta được đáp số cần tìm là: 1<m<4/3 0.25Đ
Câu2:
1.Đặt I = 
 0,5 Đ 
Xét tích phân 
Đặt 0.5Đ
Thế thì 0.25Đ
Khi đó 0.5Đ
 0.25Đ
2.Đặt 
 =
 1.0Đ
 0.5Đ
. 0.5Đ
Câu3:
1.ĐK: 0.25Đ
Nhân cả hai vế của BPT với ta được BPT đã cho 
 (1) 0.5Đ
Nếu 1≤ x < 2 thì (1) 
Bình phương hai vế ta được : 
Do 11-5x >0 với 1≤x<2 nên phương trình 
Nghiệm trong trường hợp này là 0.5Đ
Nếu x=2 thì (1) có dạng 0>0 do đó x=2 không là nghiệm 0.25Đ
Nếu x>2 thì (1) 
 Trong trường hợp này BPT vô nghiệm . 0.25Đ
Vậy nghiêm của BPT đã cho là . 0.25Đ
2.ĐK: 0.25Đ
 (*) 0.25Đ
Đặt 0.25Đ
0.5Đ
Nếu t=0 thì thoã mãn ĐK (*) 0.25Đ
Nếu 
Nhận xét : nếu phương trình trên có nghiệm x1, x2 thì không thoả mãn ĐK (*) 0.25Đ
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=1003. 0.25Đ
Câu4:
1.
 1.0Đ
 0.5Đ
 với m ẻZ. 0.5Đ
2.Ta có 
 0.5Đ
áp dụng BĐT côsi ta có 
 (1)
 (2) 0.75Đ
 (3)
Cộng (1) , (2) và (3) ta được : (4) 0.25Đ
Mặt khác trong tam giác ABC ta luôn có :
 cotgA.cotgB + cotgB.cotgC + cotgC.cotgA = 1 (5)
Thật vậy,trong tam giác ABC ta có : A+B+C=PịB+C=P-A
Do đó cotg(B+C)=cotg(P-A) Û 
 0.25Đ
Thay (5) vào (4) ta được F ≥ 12
Vậy Fmin = 12 Û 0.25Đ
Câu5:
1.Tiêu điểm F(-1;0) 0.25Đ
Đường thẳng (D) qua F (-1;0) có phương trình: a(x+1) + by = 0 với a2+b2>0 0.25Đ
Nếu a=0 thì (D) có dạng y = 0 ,yêu cầu bài toán không thoả mãn.
Nếu aạ0 thì ta chọn a=1. Khi đó (D) : x=-1 - by 0.25Đ
Tung độ giao điểm của (P) và (D) là nghiệm của phương trình
 y2 = -4(-1 - by) Û y2 - 4by - 4 = 0 (*) 0.25Đ
Nhận xét: (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt y1 và y2 thoả mãn y1.y2=-4 (1) 0.25Đ
Giả sử A(x1;y1) và B(x2;y2) là các giao điểm của (P) và (D) thì phương trình của các tiếp tuyến tại A và B có dạng : y1y=-2(x1+x) (d1) y2y=-2(x2+x) (d2) 0.25Đ
(d1) , (d2) có véc tơ chỉ phương lần lượt là : 0.25Đ
Ta thấy (2) .Thay (1) vào (2) ta có 0.25Đ
2.Chọn hệ trục như hình vẽ ,khi đó :
B(-c;0) C(c;0) A(0;a) D(-c/2;a/2) 0.5Đ
Gọi E (x;y) ta có 0.25Đ
Gọi I (x;y) ,do IẻOY nên I(0;y)
Mặt khác ID^AB nên 0.25Đ
Bây giờ ta có : và 0.5Đ
Suy ra 0.25Đ
. 0.25Đ