Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn thi: Toán - Đề 2

Đề thi học sinh giỏi lớp 12
Môn thi: Toán - Đề 2
Thời gian làm bài: 180 phút
CâuI : (4 điểm):
Cho hàm số y= x3 + 3x2 - 2 (C)
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị.
2/ Giải bất phương trình : 0 Ê 2006 + 6018x2- 4012 Ê 4012.
3/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C). Biết tiếp tuyến đi qua A(0; -2)
CâuII : (2 điểm) Tính 
	I=
CâuIII : (2 điểm) Giải và biện luận phương trình theo tham số m
Câu IV: (4 điểm) Giải các phương trình sau:
1/	 Sin(p/2 - pcosx)= cos(3pcosx)
2/ 	 6x + 4x = 2.9x
Câu V : (2 điểm) Chứng minh điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông:
Cos2A + Cos2B + Cos2C = 1
Câu VI: (2 điểm): Tính giới hạn sau:
Câu VII: (2 điểm): 	Trong hệ Oxy cho hai đường thẳng d1//d2 lần lượt có phương trình là :
d1: x-y+2 = 0 ; d2: x-y-2 = 0
1/ Viết phương trình đường thẳng d3 đi qua điểm A(-2; 0) và vuông góc với d2
2/ Viết phương trình đường thẳng d4 sao cho d1, d2, d3, d4 cắt nhau tạo thành một hình vuông.
Câu XIII: (2 điểm): Chứng minh rằng với a,b> 0 ta có:
a5+b5 ³ a4b + ab4 
Kỳ thi học sinh giỏi lớp 12
Hướng dẫn chấm thi
Môn: Toán- Đề 2
(Bản hướng dẫn chấm gồm 5 trang)
Câu 1: (4 điểm)
	1, (2 điểm)
TXĐ : D = R	(0,25đ)
Chiều biến thiên:	(0,5đ)
+ y' = 3x2 + 6x = 3x(x+2),	y' = 0 
+ dấu y':
x
-Ơ
-2
0
+Ơ
y'
+
0
-
0
+
2
+Ơ
y
-Ơ
-2
Với xẻ(-Ơ; -2) ẩ (0; +Ơ) hàm số đồng biến
	 xẻ(-2; 0) hàm số nghịch biến
Tại x= -2 hàm số đạt cực đại yCĐ = 2
Tại x= 0 hàm số đạt cực tiểu yCT = -2	 (0,25đ)
Tính lồi lõm, điểm uốn.	(0,25đ)
+ y'' = 6x + 6 = 6(x+1); y'' = 0 Û x= -1
+ dấu y'':
x
 -Ơ 
-1
 +Ơ
y''
- 
 0
 + 
đ.u
y
Lồi 
(-1,0)
lõm 
Bảng biến thiên:	(0,25đ)
x
-Ơ
-2
-1
0
+Ơ
y'
+
0
0
+
2
+Ơ
y
(CĐ)
0
(CT)
-Ơ
-2
* Đồ thị: Đồ thị cát trục tung tại: (0; -2)
* Cắt trục hoành tại hoành độ x = -1, x = 
 Qua điểm (-3; -2); (1; 2)
0,5 đ
2. (1 điểm)
02006 x3 + 6018 x2 - 4012 4012 0 x3 + 3x2 - 2 2	 (*)	 (0,5đ)
theo đồ thị (C) ta có: (*)x [ -1-; -1 ] [ -1+; 1 ]	 (0,5đ)
3. (1 điểm): đường thẳng qua A(0; -2) có hệ số góc k:
y+2= k(x- 0) (d) Û y = kx-2	 
(d) là tiếp tuyến của (c) (0,5đ)
 có nghiệm.	
Thay k từ (2) vào (1) ta được:
x2(2x+3) = 0	 x = 0, x= - 	(0,25đ)
	* Với x= 0 k= 0 tiếp tuyến là y = - 2
* Với x= - k= - tiếp tuyến là y= - 	(0,25đ)
Câu 2 (2 điểm).
(1 điểm)
Ta có I = 
Đặt ex+1 = t (*) đ ex = t-1
exdx = dt
I= 
= 	(0,5đ)
=ln- ln +c =ln +c	
Từ (*) ta có: I = ln + c = x - ln(ex +1) +c	(0,5đ)
Câu 3. (2đ) Xét hàm số y= (c)
Ta có bảng xét dấu	(1đ)
x
- 
 -1
 1
-x-1
 0
x+1
x+1
-x+1
-x+1
 0
x-1
y= 
-2x
2
2x
Nếu
Nếu
Nếu
Khi đó y= 
(0,5đ)
đồ thị (C)
(C)
* Biện luận số nghiệm của phương trình theo m:
 = m (*)	(0,5đ)
ị số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng 
y = m
 + Nếu m<2 phương trình vô nghiệm
 + Nếu m=2 phương trình có nghiệm [1; 1]
 + Nếu m>2 phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Câu 4 (4đ)
1. Phương trình tương đương với : 
Cos (cosx) = cos 3cosx	(0,25đ)
(k ) 	(0,5đ)
 	(0,25đ)
Vì kZ, nên:
(1)	(0,25đ)
(2)(**)	(0,25đ)
Từ (*) và (**) ta có: 	(0,25đ)
Với (k).	 (0,5đ)
Từ (a),(b),(c),(d) ta có nghiệm của phương trình là : 	 (k) (0,25đ)
2. Phương trình tương đương với
 (1)	(0,5đ)
Đặt t = Điều kiện t > 0.	(0,25đ)
(Loại)
(1) t2 + t -2 = 0 	
Với t = 1 = 1 = 	(0,5đ)
 x=0
Vậy phương trình có nghiệm x = 0.	(0,25đ)
Câu 5 (2đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
* Nếu CosA = 0 ịABC vuông tại A.
* Nếu CosB = 0 ịABC vuông tại B.
(0,25đ)
* Nếu CosC = 0 ị ABC vuông tại C.
Vậy tam giác ABC là tam giác vuông
Câu 6. (2đ)
(0,25đ)
(1đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
Câu 7 (2đ)
1. d3 vuông góc với d2 nên có dạng x+y+c = 0
Vì d3 qua A(-2 ; 0) nên : -2 + 0 + c = 0 c =2	(0,75đ)
2. Vì A(-2;0) d1 nên 
Để d4 và d1, d2, d3 cắt nhau tạo thành một hình vuông khi và chỉ khi d4//d3 và d(A,d4) = d(A,d2) (*)	(0,5đ)
Do đó d4 có dạng : x + y + D = 0
(*) 	(0,5đ)
Vậy đường thẳng d4 có dạng x+y+6 =0 hoặc x+y-2 = 0	(0,25đ)
Câu 8.(2đ)
a5+b5a4b+ab4
 a5+b5- a4b - ab4 0	(0,5đ)
a4(a-b) - b4(a-b) 0
 (a - b)(a4-b4) 0	(0,5đ)
 (a-b)(a2-b2) (a2+b2) 0	(0,25đ)
 (a-b)2(a+b) (a2+b2) 0	(0,5đ)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b	(0,25đ)
-------------------------------------------š&›---------------------------------------------