Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn thi:toán --thời gian : 180 phút

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 
MÔN :TOÁN --THỜI GIAN : 180 PHÚT
Bài 1 (4đ)
 Cho hàm số: y = 2x3 + mx2 - 8x (cm)
1) KS vẽ đồ thị hàm số m = 1 (C1)
2) Tìm m ? hàm số (Cm) đồng biến/ (1,2)
Bài 2:( 6đ)
 Cho phương trình: cos2x (2cos x . cos3x - 7) = -m
GPT: m = -7
2) CMR: không tồn tại m để pt có nhiều hơn 1n0 [-]
Bài 3( 4đ)
1) Tính I = 
2) A? = lm 
x -> 0
Bài 4( 2đ)
 Cho ABC biết pt cạnh BC: 4x - y + 3 = 0 và 2 đường phân giác trong của B, C lần lượt là (dB): x - 2y + 1 = 0 ; (dC): x + y + 3 = 0.
Lập pt cạnh AB; AC
Bài 5: ( 2đ)
 GPT: 2005log20052006x + log2006(-x+1) =1
Bài 6: (2đ)
 Cho a, b, c, d > 0 chứng minh rằng
 ./.
ĐÁP ÁN ĐỀ TOÁN - LỚP 12 
Bài 1(4đ) 
 y = 2x3 + mx2 - 8x
1) KS vẽ đt: m = 1
y = 2x3 + x2 - 8x
a) TXĐ: R
b) SBT: * CBT: y/ = 6x2 + 2x - 8
y/ = 0 = x = 1; x = -4/3
(Lập bảng xét dấu y/ 
KL: HSĐB/ x (- ; - 4/3) U (1, + )
HSĐB/ x (- 4/3, 1).
* Giá trị: xCT = 1 -> yCT = -5
xCĐ = -3/4 -> yCĐ = 
* Giới hạn: Lim y = 
 x -> 
HSK0 có t/c
Y// = 12x + 2
Y// = 0 z x = -1/6
Lập bảng xét dấu y//
c) đồ thị
2) m ? hs ĐB/ /(1,2)
y/ = 6x2 + 2mx - 8
NX: / = m2 + 48 > 0 m -> y/ có n0 x1< x2
 a = 6 >0
TH1: x1 
-> -> -> m
TH2: 2 x1 -> 
-> ->vô nghiệm
KL: m 1 là giá trị cần tìm
Bài 2: (6đ)
 cos2x (2cosx . cos3x - 7) = -m
 2cos32x + cos22x - 8 cos2x + m = 0 (1)
1) m = -7
2cos32x + cos22x - 8 cos2x + 7 = 0
(cos2x + 1) (2cos22x - cos2x - 7) = 0
cos2x = -1 -> x = /2 + k
2cos22x - cos2x - 7 = 0 ; cos2x = (loại)
KL: với m = - 7 -> x = /2 + k
CMR: không tồn tại m để pt có nhiều hơn 1n0 [-]
NX : x[-] -> 2x[-] -> cos2x[]
1-> -m = 2t3 +t2 -8t ====f(t)
 t= cos2x[]
f’(t) = 6t2 +2t -8
f’(t) = 0 khi t=1 , t= - 4/3 --> f’(t) < 0 với mọi t []
nên mỗi giá trị -m [f(]
 chỉ có duy nhất t [] -> ưngd duy nhất x[-]
nen không tồn tại m để pt có nhiều hơn 1 nghiệm x[-]
Bài 3 (4đ)
 a) tính I = 
đặt t= 1+ xex -> dt = ex(1+ x)dx
 I= 
 b) 
 A= lim =3/5 + 397/7
 x-> 0 x-> 0 
 Vậy A = 2006/35
Bài 4 (2đ)
Toạ độ đỉnh B là nghiệm của hệ B (-5/7 ;1/7)
Toạ độ đỉnh C là nghiệm của hệ C(-6/5 ;-9/5)
Gọi M( 0 ,3) thuộc BC. Lờy M1 ,M2 đxứng với M qua dC , dB ->M1thuộc AB , M2 thuộc AC.
và MM1 qua M (0 ;3) -> MM1 : 2x +y –3 =0
H1 = MM1 x dB -> H1 (1;1) -> M1 (2 ;1)
Từ đó -> AB : 56x + 133y + 21 =0 (chứa B va M1)
 AC : 5x – 20y –30 = 0 ( chứa C và M2) 
Bài 5 (2đ) 
 2005log20052006x + log2006(-x+1) = 1 
ĐK : x < 1
 pt 2006x + log2006(-x+1) = 1
 log2006(-x+1) = 1- 2006x (*)
Đặt y= log2006(-x+1) -> -x+ 1=2006y -> x= 1 – 2006y
hàm số y = 1- 2006x với x < 1 là hàm số ngược của hàm
 y = log2006(-x+1) 
 pt (*) 1- 2006x = x x = 0 ( do x < 1).
Bài 6
Ad BĐT Cô si cho 5 số dương , , , , ta có:
 (1) dấu = xảy ra khi a = b
tuơng tự 
 (2) dấu = xảy ra khi c = b
 (3) dấu = xảy ra khi c = d
 (4) dấu = xảy ra khi a = d
cộng (1) ,(2) ,(3) ,(4) theo từng vế ta có BĐT cần chứng minh
 dấu = xảy ra khi a = b = c = d
[
[
[
ơ