Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn: toán thời gian 180 phút

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 
MÔN: TOÁN
Thời gian 180 phút
Bài 1: (2đ) Cho hàm số: y = x3 - (m là tham số)
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
Xác định m để đường thẳng y = x cắt đồ thị (cm)tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC.
Bài 2: (2điểm)
	Tính tích phân
	I = 
Bài 3: (2điểm)
	Cho phương trình:
	x2 – 2 ( m - 1) x + 2m2 – 3m + 1 = 0 (m là tham số)
Chứng minh rằng khi phương trình có nghiệm thì hai nghiệm của nó thỏa mãn bất đẳng thức.
	| x1+ x2 + x1x2 | 
Bài 4: (2 điểm)
	Giải bất phương trình
	 + 3 
Bài 5: (2điểm)
Giải phương trình
	sin3 (x + 
Bài 6: (2điểm) Cho ABC có:
	 (cotg2A + cotg2 B)
Chứng minh rằng ABC cân
Bài 7: (2điểm)
 	Tính giới hạn sau:
	I = 
Bài 8: ( 2 điểm)
	Giải phương trình
	x- x-1-
	 4 - 12 . 2 + 8 = 0
Bài 9: (2điểm)
	Cho hình chóp S . ABCD trong đó SA (ABCD) và SA = 2; ABCD là hình chữ nhật, AB = 1; BC = 3.
	Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AC và SD
Bài 10: (2 điểm)
	Giả sử x,y là 2 số dương thỏa mãn điều kiện 
Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng x+y.
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12
MÔN:	TOÁN
Bài 1:
a) Với m = 1 thì hàm số có dạng: y = 
* TXĐ: D = R	 (0,25)
Chiều biến thiên
y’ = 3x2 – 3x = 3x(x-1)
y’ = 0 
=> Hàm số đồng biến trên (-; ) và (1; +)
 Hàm số nghịch biến trên (0;1)
Cực trị
Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0 , ycđ = 
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1, yct = 0
Giới hạn	
lim y = - , 	lim y =
 x -	 x 	 (0,25)
* Tính lồi, lõm, điểm uốn.
	y” = 6 x – 3 
	y” = 0 x = 
Dấu của y”:
	x	-	1/2	
y”	- 	0	+
	Đồ thị 	Lồi	Điểm uốn	Lõm
	(1/2;1/4)
* Bảng biến thiên:
	x	-	0	1/2	1	y’	+	0	-	0	+
 	y	1/2	
	1/4
	-	0	 (0,25)
Đồ thị :
	Giao điểm với trục ox: (1;0) và (-1/2; 0)
	Giao điểm với trục oy: (0; 1/2)
	 (0,25)
b) PT hoành độ giao điểm: 
	x3 - (1)
Đường thẳng y = x cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt A,B,C pt (1) có 3 nghiệm phân biệt xA, xB, xC. Theo Vi et ta có : xA + xB +xC = m (2)
theo gt AB = BC 2 xB =xA + xC (3)
Từ (2) và (3) xB = . Vậy x = là một nghiệm của (1). 
Chia f(x) = cho ta được:
 f(x) = (x - ) (x2 – mx – 1 - ) - + . 	 (0,25)
	x = là nghiệm của (1) - + = 0 m=0, m = 
 Khi đó f(x) = (x - ) (x2 – mx – 1 - ) có 3 nghiệm phân biệt
vì = x2 – mx – 1 - có 2 nghiệm trái dấu	(0,25)
và có () = -1 - . 
vậy: m = 0 ; m = 	(0,25)
Bài 2: 	I = 
	Đặt x = sin t, t dx = cost . dt 	 (0,5)
	x = 0 t = 0, x=1 t = 
 I = 
 = 	 (0,5)
 Vậy 	 (0,5)
Bài 3:
a) 	x2 – 2(m-1) + 2m2 – 3m + 1 = 0 (1)
	Ta có ’ = (m-1)2 – (2m2 – 3m + 1) = - m2 + m 	(0,25)
	PT (1) có nghiệm ’ 0 - m2 + m 0 0 m 1	(0,25)
	Vậy 0 m 1 thì pt (1) có nghiệm
b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình (1)
 Theo Vi ét ta có:	x1 + x2 = 2(m-1)
	x1 . x2 = 2m2 – 3m + 1	(0,25)
 | x1 + x2 + x1 .x2 | = | 2m – 2 + 2m2 – 3m + 1| = | 2m2 – m – 1|	(0,25)
	= 2 | m2 - -| = 2 |(m - )2 -|	(0,25)
Với 0 m 1 thì ( m - )2 0
 | (m - )2 - | 	(0,25)
Vậy | x1 + x2 + x1 . x2 | 2. = 	(0,25)
Bài 4:	Giải phương trình
	2 + 3 	(1)
	TXĐ: 	D = \ x 
Trên D thì > 0, Chia 2 vế của (1) cho ta được 
	2 	(0,25)
Đặt t = , t 0	(0,25)
BPT 2t2 – 3t + 1 0 0 t hoặc t 1 	(0,25)
* Với 0 t thì x 	(0,25)
* Với t 1 thì 1 x 2 	(0,25)
Vậy tập nghiệm của BPT (1): T = 	(0,25)
Bài 5: Giải phương trình	
	sin3 (x + 
	Đặt t = x + thì phương trình trở thành	(0,25)
	sin3 t = sin (t - ) sin3t = sint – cost	 (0,5)
 sint (1 – cos2t) = sint – cost cost (1- sint.cost) = 0	 (0,5)
	Vô nghiệm 	 (0,5)
Vậy x = + (
Bài 6: 	 = (cotg2A + cotg2B)
 = 	 (0,5)
 	(0,25)
 = 	(0,25)
 . = 	 	 	(0,25)
 	(0,25)
 	 (0,5)
 cân
Bài 7:
I = = 	 (0,5) 
= 
 	 	 	 (0,5)
= 	
	 	(0,25)
= 	
	 	 	 	 (0,5)
= 	(0,25)
Bài 8: Điều kiện
	 	(0,25)
 	(0,25)
Đặt ( t > 0 ) phương trình trở thành	(0,25)
	 t = 2 hoặc t = 4	 	 (0,5)
* Với t = 2 	(t/m)	(0,25)
* Với t = 4 	(t/m) 	 (025)
Vậy phương trình có nghiệm x = 3; x = 	(0,25)
Bài 9:
Phương pháp tổng hợp:
Từ D dựng Dx // AC
Từ A dựng AF Dx ( FDx) và AH SF ( HSF)
Dựng HP // FD ( PSD) 
Dựng PQ // AH (QAC)
Khi đó PQ là đoạn vuông góc chung của SD và AC. Thật vậy 	(0,25)
	Ta có: FD SA
	FD FA
 FD (SAF)	(0,25)
Suy ra FD AH
	 SF AH
 AH (SFD)	(0,25)
 Do đó: AH FD AH AC
	mà PQ // AH nên PQ AC	(0,25)
	Hơn nữa: AH (SFD) nên AH SD suy ra PQ SD
	Vậy ta có: d (AC, SD) = PQ = AH	(0,25)
Xét tam giác vuông AFD ~ tam giác vuông ABC ta có:
	(025)
 trong tam giác vuông SAF ta có:
 	(0,25)
	Vậy d (AC,SD) = AH = 
Bài 10: 	Ta có: 	 (0,5)
Theo BĐT Bunhiacopski ta có:
	 (0,5)
 	 	(0,25)
Đẳng thức xảy ra khi 
	 	 	 (0,5)
Vậy min = tại 	(0,25)