Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn toán (thời gian làm bài 180 phút)

 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 MÔN TOÁN
 (Thời gian làm bài 180 phút)
Bài 1.Cho hàm số:
 y=x3-(m+1)x2-(2m2-3m+2)x+2m(2m-1). (m-tham số)
a.Tìm các điểm mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m.
b.Xác định m để hàm số đồng biến trên (2;+) .
Bài 2.
a.Với giá trị nào của m thì bất phương trình sau :
 x2- 2mx + 2 +5 < 0. Có ít nhất một nghiệm.
b.Tìm a để phương trình sau có nghiệm và tìm nghiệm:
 (1)
Bài 3.Cho tứ diện ABCD.Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD.Hai điểm R,S lần lượt lấy trên các cạnh AC và BD sao cho (k > 0).
Chứng minh rằng bốn điểm P,Q,R,S nằm trên cùng một mặt phẳng.
Bài 4.
Cho tứ diện ABCD có BAD =900 và chân đường vuông góc hạ từ D xuống mặt phẳng (ABC) trùng với trực tâm của tam giác ABC.
Chứng minh rằng : (AB +BC +CA)2 6(AD2 +BD2 +CD2).
Bài 5.Cho hai số thực x, y bất kỳ thoả mãn điều kiện :
 2y x2 ; y -2x2 + 3x .
Chứng minh rằng : x2 + y2 2.
 Họ và tên thí sinh:...................................................Số báo danh:.......
 (Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
 HƯỚNG DẪN CHẤM.
Bài 1.(4điểm).
a.(2điểm)
Điểm A(x0;y0) là điểm mà đồ thị luôn đi qua với mọi m. 0.5đ
 0.5đ
 0.5đ
Vậy điểm A(2;0) là điểm mà đồ thị đi qua 0.5đ
b.(2điểm) Ta có: 
 0.5đ 
∆’ =7m2 –7m +7 = 7(m2-m+1) > 0 , 0.5đ
 y, 0, 0.5đ 
 0.5đ 
Bài 2.(6điểm)
a.(3điểm) Bất phương trình đã cho tương đương với :
 0.5đ
đặt: t = điều kiện : t, 0 0.5đ
(*)trở thành 0.5đ
Hệ có nghiệm (t2 là nghiệm lớn) 0.5đ
b.(3điểm)
Đ/k : x>0 , x, a>0 , a 0.5đ 
(1)
 0.5đ
Đặt : t = , b= .Ta được phương trình: 0.5đ
-Nếu thì 
có nghiệm 
Lúc đó (3) có hai nghiệm 
Rõ ràng t1<-1 < b nên bị loại.
Vậy 
Vì a>0 nên a 0.5đ
-Nếu t< b thì (2)
Vì tnên t=2
Theo điều kiện t2 0.5đ
Kết hợp hai trường hợp phương trình (1) có nghiệm khi a > 1
	Khi 1<a< thì nghiệm là x = a2
	Khi a thì nghiệm là x = a 0.5đ
Bài 3.(4điểm)
Đồng phẳng hay bốn điểm P,Q,R,S cùng thuộc một mặt phẳng. 0.5đ
Bài 4.(4điểm)
Trước hết ta chứng minh CDA =900 Thật vậy:
Gọi H là hình chiếu của D lên mp(ABC), giả sử CH cắt AB tại E 
Do :AB và AB nên AB
Suy ra : AB (1) 1đ
Mặt khác :theo giả thiết BDC =900 (2)
Từ (1)và (2) CDA =900 0.5đ 
Hoàn toàn tương tự : 
 ADB =900 0.5đ
Từ đó ta có :
 AB2 + BC2 + CA2 =2(AD2+BD2+CD2) (1) 0.5đ
Sử dụng bất đẳng thức Co-si , ta có:
(AB+BC+CA)2 = AB2+BC2+CA2+2AB.BC+2BC.CA+2CA.AB 
 (AB2+BC2+CA2) (2)
 Kết hợp (1),(2) ta được : (AB+BC+CA)2 6(AD2+BD2+CD2) 1đ
 Dấu bằng xảy ra khi : AB=BC=CA. 0.5đ
Bài 5.(2điểm)
	Từ giả thiết suy ra :
 (1) 0.5đ
 (Các điểm thoả mãn (1)là phần hình phẳng 
 được tô đậm ở hình bên).
 Hoành độ giao điểm của hai Parabol: 
 0 y1= và y2=-2x2+3x
 là nghiệm phương trình: 
Với điều kiện (1) ,ta có :
 x2+y2= với 0.5đ
Ta xét hàm số :
 f(x)=4x4 –12x3+10x2 trên 
f’(x)=16x3-36x2+20x
 =4x(4x2-9x+5)
f’(x)=0x=0 , x=1, x= 0.5đ
Bảng biến thiên 
 x 0 1 6\5
 f’(x) + 0 - 
 2 
 f(x) 
 0 
Từ bảng biến thiên :
 = 2.
Vì vậy : Dấu bằng xẩy ra khi :x = y =1. 0.5