Đề thi học sinh giỏi lớp 7 cấp huyện môn: toán năm học: 2012-2013 thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THCS KIM TÂN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN
ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn: Toán
Năm học: 2012-2013
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: Thực hiện phép tính (6 điểm).
a. ;	b. ;	c. .
Bài 2: (6 điểm)
a. Tìm x, biết: 2(x-1) – 3(2x+2) – 4(2x+3) = 16;
b. Tìm x, biết: 3 = 
c. Tìm x, y, z biết: và x + z = 2y.
Bài 3: (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d). 
Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia KA lấy D , sao cho KD = KA.
a. Chứng minh: CD // AB.
b. Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N . 
Chứng minh rằng: rABH = rCDH.
c. Chứng minh: HMN cân.
Bài 5: (2 điểm): Chứng minh rằng số có dạng luôn chia hết cho 11.
Hết


 UBND HUYỆN PHÚ THIỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN
ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn: Toán
Năm học: 2009-2010
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: Thực hiện phép tính (6 điểm).
Giải:
a. 


0,75đ

= 
0,75đ
b. 


1,0đ

=
1,0đ
c. 

=
01đ


01đ

=
0,5đ
Bài 2: (6 điểm)
Giải:
a. Tìm x, biết: 2(x-1) – 3(2x+2) – 4(2x+3) = 16.

2x – 2 – 6x – 6 – 8x – 12 = 16
0,25đ

-12x – 20 = 16
0,25đ

-12x = 16 + 20 = 36
0,50đ

x = 36 : (-12) = -3
0,50đ
b. Tìm x, biết: 3 = 

Nếu . Ta có: (vì nếu x = ½ thì 2x – 1 = 0)
0,25đ

3 = 


: (2x – 1) = 
0,25đ

2x – 1 =: = 
0,25đ

2x = + 1 = 
0,25đ

x = : 2 = > 
0,25đ

Nếu . Ta có: 
0,25đ

3 = 


: (1 - 2x) = 
0,25đ

-2x = - 1 = 
0,25đ

x = : (-2) = 
0,25đ

Vậy x = hoặc x = 
0,25đ
c. Tìm x, y, z biết : và x + z = 2y

Từ x + z = 2y ta có:


x – 2y + z = 0 hay 2x – 4y + 2z = 0 hay 2x – y – 3y + 2z = 0
0,25đ

hay 2x – y = 3y – 2z
0,25đ

Vậy nếu: thì: 2x – y = 3y – 2z = 0 (vì 5 ¹ 15).
0,25đ

Từ 2x – y = 0 suy ra: x = 
0,25đ

Từ 3y – 2z = 0 và x + z = 2y. Þ x + z + y – 2z = 0 hay + y – z = 0
0,25đ

hay - z = 0 hay y = z. suy ra: x = z.
0,25đ

Vậy các giá trị x, y, z cần tìm là: {x = z; y = z ; với z Î R }
hoặc {x = y; y Î R; z = y} hoặc {x Î R; y = 2x; z = 3x}
0,5đ
Bài 3: (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức .
Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d) 
Ta có:
(a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d)


ab + ad + 2cb + 2cd = ab + 2ad + cb + 2cd
0,75đ

cb = ad suy ra: 
0,75đ
Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia KA lấy D , sao cho KD = KA.
a. Chứng minh: CD // AB.
b. Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N . 
Chứng minh rằng: rABH = rCDH.
c. Chứng minh: HMN cân.

Giải:
A
B
D
M
N
K
C
H



a/ Chứng minh CD song song với AB.


Xét 2 tam giác: DABK và DDCK có:
0,25đ

BK = CK (gt)


 (đối đỉnh)
0,25đ

AK = DK (gt)
0,25đ

Þ DABK = DDCK (c-g-c)
0,25đ

Þ ; mà Þ
0,25đ

Þ Þ AB // CD (AB ^ AC và CD ^ AC).
0,25đ

b. Chứng minh rằng: rABH = rCDH


Xét 2 tam giác vuông: rABH và rCDH có:
0,25đ

BA = CD (do DABK = DDCK)


AH = CH (gt)
0,25đ

Þ rABH = rCDH (c-g-c)
0,50đ

c. Chứng minh: HMN cân.


Xét 2 tam giác vuông: rABC và rCDA có:
0,25đ

AB = CD; ; AC cạnh chung: Þ rABC = rCDA (c-g-c)


Þ 
0,25đ

mà: AH = CH (gt) và (vì DABH = DCDH)
0,50đ

Þ DAMH = DCNH (g-c-g)
0,50đ

Þ MH = NH. Vậy DHMN cân tại H
0,50đ

Bài 5: (2 điểm): Chứng minh rằng số có dạng luôn chia hết cho 11.
Giải:
Ta có:
 = a.105 + b.104 + c.103 + a.102 + b.10 + c
0,25đ

= a.102(103 + 1) + b.10(103 + 1) + c(103 + 1)
0,50đ

= (103 + 1)( a.102 + b.10 + c)
0,50đ

= (1000 + 1)( a.102 + b.10 + c) = 1001( a.102 + b.10 + c)
0,25đ

= 11.91( a.102 + b.10 + c) 11
0,25đ

Vậy 11
0,25đ

Hết