Đề thi học sinh giỏi lớp 7 năm học: 2012 - 2013. môn thi: Toán

PHÒNG GD- Đ T PHÙ MỸ
TRƯỜNG THCS TT PHÙ MỸ
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7
Năm học: 2012-2013.
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút.
Câu 1(3,0đ)
 Chứng minh rằng : 
Câu 2: (3,0đ)
 Cho hàm số f(x) thỏa mãn : 2.f(x) – x . f (-x) = x + 10 với mọi giá trị của x . 
 Tính f (2) 
Câu 3: (3,0đ)
 Chứng minh rằng: là một số tự nhiên.
Câu 4: (3,0đ)
 Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 6x2 + 5y2 = 74
Câu 5:	(3,0đ)
 Cho . Tìm số nguyên n để B có giá trị lớn nhất.
Câu 6: (5,0đ)
Tam giác ABC có AB > AC .Từ trung điểm M của BC kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác góc A và cắt tia phân giác tại H cắt AB,AC lần lượt tại E và F . 
Chứng minh rằng a/ BE = CF 
 b/ AE = 
 c/ = 
PHÒNG GD- ĐT PHÙ MỸ HƯỚNG DẪN CHẤM
 TRƯỜNG THCS TT PHÙ MỸ	 ĐỀ THI HSG LỚP 7
 Năm học 2012 – 2013 - Môn : Toán 
Câu 
Nội dung
Điểm
1
(3điểm)
Đặt : A = 
Ta có :A < 
= 
= 
1,0đ
1,0đ
1,0đ
2
(3 điểm)
ta có :
2 . f(2) – 2 . f(-2) = 12
2 .f(-2) + 2 . f(2) = 8
Suy ra : 4 .f(2) = 20
 f(2) = 5
1,0đ
1,0đ
0,5đ
0,5đ
3
(3 điểm)
Để là số tự nhiên Û 102006 + 53 9
Để 102006 + 53 9 Û 102006 + 53 có tổng các chữ số chia hết cho 9
mà 102006 + 53 = 1+ 0 +0 +.........+ 0 + 5+3 = 9 9
102006 + 53 9 hay là số tự nhiên
1,0đ
1,0đ
0,5đ
0,5đ
4
(3 điểm)
Từ 6x2 + 5y2 = 74 => 6x2 74 => x2 
mà x nguyên => x2 
Mặt khác ta có x2 + 1 = 75 – 5x2 – 5y2 5 => x2 = 4 hoặc x2 = 9
Nếu x2 = 4 => y2 = 10 (loại vì y nguyên)
Nếu x2 = 9 => y2 = 4 => (x, y) 
0,5đ
0,5đ
1,0đ
0,5đ
0,5đ
5
(3 điểm)
	lớn nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất
Vì 
Vì vậy đạt giá trị nhỏ nhất khi bằng 3
Dấu bằng xảy ra khi 
vậy B lớn nhất và 
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
1,0đ
6
(5 điểm)
Vẽ hình đúng 
a/ Kẻ CD // AB
Xét và ta có
(slt)
BM = CM(gt)
(đ đ)
 = (g-c-g) =>BE=CD (cặp góc tương ứng 
* có AH vừa là đường phân giác vừa là đường cao ,
nên cân tại A (1)
Mà (đồng vị, AB//CD) (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
Do đó cân tại C => CF = CD 
 Mà CD = BE 
=> CF = BE 
b/ Ta có AE = AB - BE
 Mà AE = AF= AC+CF 
 => 2AE=AB+AC
=> AE=
Tương tự : BE = AB – AE
 CF = AF –AC
 2BE = AB-AC => BE = 
c/ Ta có :
(góc ngoài )
( góc ngoài của )
 1,0đ
0,5đ
0,5đ
1,0đ
1,0đ
0,5đ
0,5đ
Ghi chú:- Mọi cách giải khác, đúng, phù hợp vẫn ghi điểm tối đa
- Đối với bài toán hình học, nếu hình vẽ sai mà phần chứng minh đúng thì không chấm bài hình.