Đề thi học sinh giỏi lớp 8 ( 2003 – 2004 ) Môn Toán

 


ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 ( 2003 – 2004 )
MÔN TOÁN
Thời gian : 120 phút không kể phát đề .

 Bài 1 : ( 5,5 điểm )
 Cho biểu thức : A = 
 1). Tìm tập xác định của A .
 2). Tìm các giá trị của x để A = 0 .
 3). Rút gọn rồi tìm các giá trị của x để A có giá trị âm .
 Bài 2 : ( 4,5 điểm )
 1). Giải phương trình : 
 2). Xác định x để biểu thức B = có giá trị lớn nhất .
 Bài 3 : ( 3 điểm )
 Trong giờ ra chơi có 4 bạn Mai , Hồng , Cúc , Lan đang ở trong lớp . Một bạn đang chép bài , một bạn đang đọc sách , một bạn đang lau bảng , một bạn đang vẽ tranh . Biết thêm rằng :
 1). Mai không chép bài và không vẽ tranh .
 2). Hồng không lau bảng và không chép bài .
 3). Nếu Lan chép bài thì Mai lau bảng .
 4). Cúc không vẽ tranh và không chép bài .
 5). Lan không vẽ tranh và không lau bảng .
 Hãy nói chính xác mỗi bạn đang làm gì ? 
 Bài 4 : ( 4 điểm )
 Cho hình chữ nhật ABCD và một điểm O bất kỳ thuộc miền trong của hình chữ nhật . Chứng minh hệ thức : OA2 + OC2 = OB2 + OD2 . 
 Phát biểu kết quả trên thành một tính chất .
 Bài 5 : ( 3 điểm )
 Cho tam giác ABC vuông tại A . Phân giác góc A cắt cạnh huyền BC tại D . Đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E . Chứng minh : DB = DE . 


-------o0o-------







ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
MÔN TOÁN

 Bài 1 : ( 5,5 điểm )
 1/- (2đ) A xác định khi x3 – 4x2 + x – 4 0 (x – 4)(x2 + 1) 0 (1đ)
 Vì x2 + 1 > 0 nên (x – 4)(x2 + 1) 0 khi x 4 . Vậy TXĐ = (1đ)
 2/- (2đ) A = 0 (1đ)
 x = – 1 (1đ)
 3/- (1,5đ) A = = = ( với x 4 ) (0,5đ)
 A 0 ) x < –1 (1đ)
 Bài 2 : ( 4,5 điểm )
 1/- (2đ) Với x 0 , quy đồng mẫu pt : ta có : 8x2 – 65x +8 = 0 (0,5đ)
 (x – 8)(x – ) = 0 (1đ) .Vậy phương trình có 2 nghiệm : x = 8 ; x = (0,5đ)
 2/- (2,5đ) (1đ)
 Vì (x –1)2 0 nên (x – 1)2 – 7 - 7 hay (x – 1)2 – 7 có giá trị nhỏ nhất ( -7 ) khi x = 1 (1đ)
 Vậy có giá trị lớn nhất ( - ) khi x = 1 (0,5đ)
Bài 3 : ( 3 điểm )
 + Vì Mai , Cúc , Lan không vẽ tranh ( đ/kiện 1,4,5 ) nên Hồng vẽ tranh . (1đ)
 + Vì Mai , Hồng , Cúc không chép bài ( đ/kiện 1,2,4 ) nên Lan chép bài . (1đ)
 + Theo đ/kiện 3 thì Mai lau bảng (0,5đ) và như thế thì Cúc đọc sách . (0,5đ)
Bài 4 : ( 4 điểm )
 Từ O kẽ OE AB ; OF CD (0,5đ) 
 Theo đ/lý Pitago ta có : OA2 = OE2 + AE2 
 OC2 = OF2 + CF2 
 => OA2 + OC2 = OE2 + AE2 + OF2 + CF2 (0,5đ)
 và OB2 = OE2 + EB2 
 OD2 = OF2 + FD2 
 => OB2 + OD2 = OE2 + EB2 + OF2 + FD2 (0,5đ)
 Chứng minh được AE = FD ; EB = CF (1đ) Suy ra : OA2 + OC2 = OB2 + OD2 (0,5đ)
 Tính chất : “ Tổng các bình phương các khoảng cách từ một điểm bên trong hình chữ nhật đến các cặp đỉnh đối diện thì bằng nhau ” . (1đ)
Bài 5: ( 3 điểm )
 ABC DEC ( 2 vuông có góc C chung ) => (1) (1đ)
ABC có AD là phân giác => (2) (1đ)
 Từ (1) và (2) suy ra DB = DE . (1đ)

Ghi chú : HS có thể giải bằng cách khác . Nếu đúng vẫn cho điểm tối đa .