Đề thi học sinh giỏi lớp 8 cấp huyện môn: Toán

Phòng giáo dục	 đề thi học sinh giỏi lớp 8 cấp huyện
Huyện bá thước 	Năm học 2006-2007
Đề chính thức
Môn : toán ( Thời gian làm bài 150 phút )
Bài 1: (3 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
3x2y + 6xy2 + 3y3
(x2 + x + 4)2 + 8x(x2 + x + 4) + 15x2. 
Bài 2: (4 điểm) 
	Cho biểu thức: A = 
Tìm điều kiện xác định của A, rồi rút gọn A.
Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
Tìm x để A < 0.
Bài 3: (4,5 điểm)
Chứng minh rằng nếu: và thì 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 
Tìm các cặp số tự nhiên (x, y) thỏa mãn phương trình: 2x + 1 = y2.
Bài 4: (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC cân đỉnh A, có số đo diện tích bằng bình phương số đo cạnh đáy BC. Tính các cạnh của tam giác ABC, biết rằng cạnh bên hơn cạnh đáy 23cm.
Bài 5: (5 điểm)
Cho hình thang ABCD (AB// CD); O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N.
Chứng minh rằng: 
Biết diện tích các tam giác AOB; COD thứ tự là a2; b2 hãy tính diện tích hình thang ABCD.
Họ tên thí sinh: .. SBD 
(Đề thi gồm 1 trang)
phòng giáo dục bá thước hướng dẫn chấm 
Kì thi học sinh giỏi lớp 8 cấp huyện môn : toán 8
 Ngày 18 tháng 4 năm 2007
-	Hướng dẫn chấm này gồm 3 trang .
-	Đây là hướng dẫn chấm, nên giám khảo phải căn cứ vào bài làm của thí sinh để chấm. Nếu học sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa.
-	Điểm của toàn bài là tổng điểm thành phần không làm tròn số.
Bài 1: (3 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a/	3x2y + 6xy2 + 3 y3 = 3y(x2+2xy+y2)	(0,75 đ)
= 3y(x+y)2	(0,75 đ)
b/	Đặt x2+x+4 = t 
Ta có: (x2+x+4)2 + 8x(x2+x+4) + 15x2= t2+8xt+15x2 	(0,5 đ)
	= t2+3xt+5xt+15x2= (t+3x)(t+5x) = (x2+4x+4)( x2+6x+4)	(0,5 đ)
	= (x+2)2(x+3+)(x+3-)	(0,5 đ)
Bài 2: (4 điểm) 
a/	ĐK: x2+5x+6 0 (x+2)(x+3) 0 x-2 và x-3	(0,5 đ)
	Ta có: A = = =	(1,0 đ)
b/	Ta có: A = = 1- 	(0,5 đ)
	Với x nguyên để A nguyên thì x+3 phải là ước của 4	(0,25 đ)
	x+3 = 1	x= -2	(không thỏa mãn ĐK)
	x+3 = -1	x= -4
 x+3 = 2	 x= -1	(0,5 đ)
	x+3 = -2	x= -5
	x+3 = 4	x= 1
	x+3 = -4	x= -7
	Vậy có 5 giá trị nguyên của x cần tìm là -7; -5; -4; -1; 1.	(0,25 đ)
c/	Ta có: (x-1)(x+3) < 0	(0,5 đ)
 -3 < x < 1.	(0,25 đ)
	Kết hợp với ĐK, để A < 0 thì x (-3;1)\ 	(0,25 đ)
Bài 3: (4,5 điểm)
a- 	Ta có: (a+b)2 < (1+ab)2 (vì 2 vế đều không âm) (0,5 đ)
 a2+ b2 – 1 – a2b2 < 0 	(0,5 đ)
 (a2- 1)(1- b2) < 0 	(*)	(0,5 đ)
	Vì và nên (a2- 1) 0 do đó bất đẳng 
thức (*) hiển nhiên đúng. Vậy BĐT đã cho được chứng minh.	(0,5 đ)
b-	Ta có: A = = 2- 	(0,75 đ)
(Vì (x-1)2 0; x2-x+1 = (x-)2 + > 0)	(0,25 đ)
=> Amax = 2 khi x = 1	(0,5 đ)
c-	Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình 2x + 1 = y2.	
 2x = (y-1)(y+1) => (y-1) và (y+1) là ước của 2x 	(0,25 đ)
=> y-1 = 2p và y+1 = 2q ( p < q; p,q N )
=> y = 2p+1 = 2q-1 => 2q-2p = 2	
=> 2p(2q-p-1) = 2	(1)	(0,25 đ)
 Nếu q-p > 1 => số lẻ 2q-p-1 là ước của 2 vô lí 
 Vậy q-p 1 => q-p = 1 thay vào (1) ta được 2p = 2	(0,25 đ)
=> p = 1 => q = 2 => y = 3 => x = 3
 Vậy phương trình đã cho có duy nhất 1 nghiệm tự nhiên x = y = 3.	(0,25 đ)
Bài 4: (3,5 điểm)
	Gọi x là số đo cạnh đáy BC của tam giác cân ABC (x>0).
Gọi AH là đường cao ứng với đáy BC => HB= HC= 	(0,5 đ)
- Diện tích tam giác bằng bình phương số đo 	A
cạnh đáy BC tức diện tích tam giác bằng: x2.	(0,5 đ)
- Đường cao AH có số đo: AH = = 	(0,5 đ)
- Trong tam giác vuông ABH ta có:
	AB2 = AH2+BH2 = ()2+ ()2 = 2	(0,5 đ)
=> AB= AC = 	(0,25 đ)	B	 H	 C
- Vì cạnh bên hơn cạnh đáy 23cm nên ta có phương trình:
 = x+23	 x = 18 (cm)	(0,75 đ)
Vậy: BC = 18 cm; AB = AC = 41cm.	(0,5 đ)
Bài 5: (5 điểm)
a/	Do MN song song với AB và CD	A	 B
O
=> và 	(0,75 đ) M	N
=> 	(1)	(0,5 đ)
	D	C
Tương tự ta cũng có: 	(2)	(0,5 đ)
Từ (1) và (2) => 	(0,75 đ)
=> 	(0,5 đ)
b/	Ta có: 
( Vì 2 tam giác AOB và AOD có cùng đường cao xuất phát từ đỉnh A)	(0,5 đ)
Tương tự: 	(0,25 đ)
Lại có: hai tam giác AOB và COD đồng dạng	
=> 	(0,25 đ)
=> 	(0,25 đ)
=> = a2b2 	
=> ab.	(0,25 đ)
Tương tự ta cũng có: ab.	(0,25 đ)
	Vậy: (a+b)2 	(0,25 đ)	
----------------Hết----------------