Đề thi học sinh giỏi lớp 8 Đề số 3

Đề 03
Cõu 1: (4 điểm).
	Cho biểu thức: 
Rỳt gọn biểu thức A
Tỡm giỏ trị nguyờn của x để A nhận giỏ trị nguyờn
Cõu 2: (4 điểm).
Chứng minh rằng A = với .
Cho P = n4 + 4. Tìm tất cả các số tự nhiên n để P là số nguyên tố.
Cõu 3: (4 điểm).
a) Giải phương trỡnh : 
b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giỏc . Chứng minh rằng :
 A = 
Cõu 4: (6 điểm). 
	Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB . Trờn cựng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB kẻ hai tia Ax và By cựng vuụng gúc với AB . Trờn tia Ax lấy điểm C (C khỏc A). Từ O kẻ đường thẳng vuụng gúc với OC, đường thẳng này cắt By tại D. Từ O hạ đường vuụng gúc OM xuống CD (M thuộc CD) 
 	a) Chứng minh OA2 = AC.BD
 	b) Chứng minh tam giỏc AMB vuụng
 	c) Gọi N là giao điểm của BC và AD . Chứng minh MN//AC
Cõu 5: (2 điểm). 
	Cho a, b, c là cỏc số thực dương thoả món a + b +c = 1. Chứng minh rằng: 	.
Họ và tờn thớ sinh:.............................................Số bỏo danh: ................................
PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VIỆT YấN
HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI
 CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Kè THI NGÀY 12/4/2014
MễN THI : TOÁN 8
Ghi chỳ: Đỏp ỏn chỉ là sơ lược từng bước giải và cỏch cho điểm từng phần của mỗi 
bài. Bài làm của học sinh yờu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, hỡnh vẽ sai khụng chấm điểm. Nếu HS giải cỏch khỏc đỳng thỡ chấm điểm từng phần tương ứng.
HƯỚNG DẪN CÁC BƯỚC LÀM
ĐIỂM
Cõu 1
a) 
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
b) Với Ta cú 
0,5đ
Để thỡ (x-1) phải là ước của 2
0,5đ
Suy ra 
Xột từng trường hợp tỡm x
0,5đ
Đối chiếu điều kiện tỡm được x = 2 hoặc x = 3 thỏa món và kết luận
0,5đ
Cõu 2
a) Ta cú: A = 
A 
0,5đ
0,5đ
0,5đ
 Do đú A là tớch của 7 số nguyờn liờn tiếp => A 7 với .
0,5đ
b) b) P = n4 + 4 = n4 + 4n2 + 4 - 4n2 = (n2 + 2)2  - (2n)2 
= (n2 - 2n + 2)(n2 + 2n + 2) = [(n - 1)2 + 1][(n + 1)2 + 1].
Vì n là số tự nhiên nên (n + 1)2 + 1 2; Như vậy muốn P là số nguyên tố thì phải có (n - 1)2 + 1 = 1 hay (n - 1)2 = 0, suy ra n = 1. 
Khi đó P = 5 là số nguyên tố.	
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Cõu 3: 
a) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ;
 x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ;
 x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ;	
 TXĐ : 	
0,5đ
Phương trỡnh trở thành : 
0,5đ
	18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)
	 (x+13)(x-2)=0
0,5đ
 Từ đú tỡm được x=-13; x=2 (thỏa món)
Kết luận
0,5đ
b) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0. Ta cú x, y, z >0
 Từ đú suy ra a= ;	 
0,5đ
Thay vào ta được A= 
0,5đ
0,5đ
Từ đú suy ra A hay A
0,5đ
Cõu 4 (6 điểm) Hỡnh vẽ
a) Xột ACO và BOD cú
= 900 ; 
 (cựng phụ với ) 
0,5đ
Nờn ACO đồng dạng với BOD
0,5đ
 => => AO.BO = AC.BD 
0,5đ
mà AO=BO Nờn AO2 = AC.BD
0,5đ
b) Xột CMO và OMD cú
 = = 900
 (cựng phụ với )
0,5đ
=>CMO đồng dạng với OMD => (1)
0,5đ
Mà ACO đồng dạng với BOD => 
=> (2) (Do AO = OB)
0,5đ
Từ (1) và (2) ta cú => tam giỏc OMD và tam giỏc OBD đồng dạng
=> => (cạnh huyền , gúc nhọn)
 => OM = OB = OA suy ra tam giỏc AMB vuụng tại M
0,5đ
c) Ta cú AC // BD (cựng vuụng gúc với AB)
=> 
0,5đ
mà BD = MD (hai cạnh tương ứng của hai tam giỏc bằng nhau)
0,5đ
Tương tự ta chứng minh AC = CM 
0,5đ
Nờn => MN// BD//AC
0,5đ
Cõu 5:
- Nhận xột: Cú a + bc = a(a + b + c) + bc = (a + b)(c + a)
 Tương tự cú b + ca = (b + a)(b + c)
 c + ab = (c + a)(c + b) 
0,5đ
do đú: 
0,5đ
ỏp dụng bất đẳng thức Cụ-si ta cú
0,5đ
Vậy 2. VT hay ĐPCM Đẳng thức xảy ra ú a = b = c =
0,5đ