Đề thi học sinh giỏi lớp 8 Năm học 2008-2009 Môn toán : thời gian 150phút ( không kể thời gian giao đề bài )

Đề thi học sinh giỏi lớp 8
năm học 2008-2009
 môn toán : Thời gian 150phút ( Không kể thời gian giao đề bài )
 

Câu 1: (5điểm) Tìm số tự nhiên n để:
 a, A=n3-n2+n-1 là số nguyên tố.
 b, B = Có giá trị là một số nguyên.
 c, D= n5-n+2 là số chính phương. (n2)
Câu 2: (5điểm) Chứng minh rằng :
 a, biết abc=1

 b, Với a+b+c=0 thì a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2
 c, 
Câu 3: (5điểm) Giải các phương trình sau:
 a, 
 b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9
 c, x2-y2+2x-4y-10=0 với x,ynguyên dương.
Câu 4: (5điểm). Cho hình thang ABCD (AB//CD), 0 là giao điểm hai đường chéo.Qua 0 kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA tại E,cắt BCtại F.
a, Chứng minh :Diện tích tam giác AOD bằng diện tích tam giác BOC.
b. Chứng minh: 
c, Gọi Klà điểm bất kì thuộc OE. Nêu cách dựng đường thẳng đi qua Kvà chia đôi diện tích tam giác DEF.

 ------------------Hết----------------













Hướng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi lớp 8 năm học 08-09
 

Câu
 Nội dung bài giải
Điểm






Câu 1
(5điểm)
a, (1điểm) A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1)
 Để A là số nguyên tố thì n-1=1n=2 khi đó A=5
0,5
0,5

0,5

0,5
0,5
0,5

0,5
0,5

0,5

0,5

b, (2điểm) B=n2+3n-
 B có giá trị nguyên 2 n2+2
 n2+2 là ước tự nhiên của 2
 n2+2=1 không có giá trị thoả mãn
Hoặc n2+2=2 n=0 Với n=0 thì B có giá trị nguyên.


c, (2điểm) D=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2
 =n(n-1)(n+1) +2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n-1)(n+1)+2
 Mà n(n-1)(n+1)(n-2)(n+25 (tich 5số tự nhiên liên tiếp)
 Và 5 n(n-1)(n+15 Vậy D chia 5 dư 2
 Do đó số D có tận cùng là 2 hoặc 7nên D không phải số chính phương
 Vậy không có giá trị nào của n để D là số chính phương











Câu 2
(5điểm)
a, (1điểm) 
 =


0,5

0,5


0.5

0.5
0.5

0.5



0,5
0,5
0,5


0,5


b, (2điểm) a+b+c=0 a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0 a2+b2+c2= -2(ab+ac+bc) 
a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8abc(a+b+c) Vì a+b+c=0
 a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1)
Mặt khác 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)+4abc(a+b+c) . Vì a+b+c=0
 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2) (2)
Từ (1)và(2) a4+b4+c4=2(ab+ac+bc)2 



c, (2điểm) áp dụng bất đẳng thức: x2+y2 2xy Dấu bằng khi x=y
 ; ; 
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:
 















Câu 3
(5điểm)
a, (2điểm) 
 
 
(x-300) x-300=0 x=300 Vậy S =


1,0

0,5

0,5


0,5
0,5

0,5

0,5




0,5

0,5



b, (2điểm) 2x(8x-1)2(4x-1)=9 
(64x2-16x+1)(8x2-2x)=9 (64x2-16x+1)(64x2-16x) = 72 
 Đặt: 64x2-16x+0,5 =k Ta có: (k+0,5)(k-0,5)=72 k2=72,25 k=± 8,5
Với k=8,5 tacó phương trình: 64x2-16x-8=0 (2x-1)(4x+1)=0; x=
Với k=- 8,5 Ta có phương trình: 64x2-16x+9=0 (8x-1)2+8=0 vô nghiệm. 
Vậy S =


c, (1điểm) x2-y2+2x-4y-10 = 0 (x2+2x+1)-(y2+4y+4)-7=0
 (x+1)2-(y+2)2=7 (x-y-1)(x+y+3) =7 Vì x,y nguyên dương
 Nên x+y+3>x-y-1>0 x+y+3=7 và x-y-1=1 x=3 ; y=1
 Phương trình có nghiệm dương duy nhất (x,y)=(3;1)











Câu 4
(5điểm)
a,(1điểm) Vì AB//CD S DAB=S CBA
 (cùng đáy và cùng đường cao) 
 S DAB –SAOB = S CBA- SAOB 
 Hay SAOD = SBOC

b, (2điểm) Vì EO//DC Mặt khác AB//DC 


c, (2điểm) +Dựng trung tuyến EM ,+ Dựng EN//MK (NDF) +Kẻ đường thẳng KN là đường thẳng phải dựng
Chứng minh: SEDM=S EMF(1).Gọi giao của EM và KN là I thì SIKE=SIMN
(cma) (2) Từ (1) và(2) SDEKN=SKFN.
0,5

0,5




0,5

1,0

0,5

1,0


1,0