Đề thi học sinh giỏi lớp 8 - Năm học 2013-2014 môn: toán thời gian : 120 phút

phòng GD - ĐT Hạ Hoà
ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề thi học sinh giỏi lớp 8 - Năm học 2013-2014
Môn: Toán
Thời gian : 120 phút( Không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 14.04.2014


Cõu 1: (3 điểm)
 a) Tỡm số tự nhiờn n để n2 + 2014 là số chớnh phương.
 
 n2 + n - 1
 b) Chứng minh rằng phõn số là tối giản.
 n2 + n + 1
Câu 2 : (5 điểm)
 a) Phân tích đa thức thành nhân tử : x3 +4x2 - 29x +24.

	 b) Tính : M = ( a -1)14 + b4 + (c+1)2014
 Biết : a +b+c = 0 và ab+bc +ac = 0.
Cõu 3: (3 điểm)
 Giải phương trỡnh: 
Cõu 4: (7 điểm)
Gọi M là điểm bất kỳ trờn đoạn thẳng AB (M khỏc A; M khỏc B). Vẽ về một phớa của AB cỏc hỡnh vuụng AMCD, BMEF.
a) Chứng minh rằng BE//MD, từ đú suy ra .
b) Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh rằng ba điểm D, H, F thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luụn đi qua một điểm cố định khi M chuyển động trờn đoạn thẳng AB cố định.
Cõu 5: (2 điểm) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giỏc. Chứng minh rằng: 
 a2 + b2 +c2 < 2(ab + bc + ca)

Hết


(Cỏn bộ coi thi khụng phải giải thớch gỡ thờm)













HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MễN TOÁN LỚP 8
NĂM HỌC 2013- 2014

Nội dung
Điểm

Cõu 1: (3 điểm)
 a) Tỡm số tự nhiờn n để n2 + 2014 là số chớnh phương.
 
Đặt n2 + 2014 = k2 với k là số tự nhiờn khỏc 0
(k – n)(k + n) = 2014
Nếu k và n cựng chẵn hoặc cựng lẻ thỡ : (k – n)(k + n) chia hết cho 4 mà 2014 khụng chia hết cho 4 ( 1)
Nếu k và n khỏc tớnh chẵn, lẻ thỡ : (k – n)(k + n) là số lẻ mà 2014 là số chẵn ( 2)
Từ (1) và ( 2) => khụng tỡm được số tự nhiờn n để n2 + 2014 là số chớnh phương.

 n2 + n - 1
 b) Chứng minh rằng phõn số là tối giản.
 n2 + n + 1
Đặt d là ước chung của n2 + n – 1và n2 + n + 1 với d là số tự nhiờn khỏc 0

(n2 + n – 1) chia hết cho d
(n2 + n + 1) chia hết cho d
=>( n2 + n + 1) – ( n2 + n – 1) = 2 chia hết cho d
=> d chỉ cú thể là 1 hoặc 2.
Nhưng n2 + n + 1= n( n+1) + 1 là số lẻ nờn d = 1
Vậy phõn số đó cho là tối giản.

Câu 2 : (5 điểm)
 a) Phân tích thành nhân tử : x3 + 4x2 - 29x +24.
= x3 - x2 +5x2 -5x -24x +24 = x2(x -1) + 5x(x - 1) - 24(x - 1) = 
= (x - 1)(x2 +5x -24) = (x - 1)(x2 - 3x +8x - 24) = (x - 1)
= (x -1)(x -3)(x + 8).

	 b) Tính : M = ( a -1)14 + b4 + (c+1)2014 
Biết : a +b+c =0 và ab+bc +ac =0.
Ta có : (a +b + c)2 = a2 +b2 + c2 +2(ab +ac +bc) = 0
a2 +b2 +c2 = 0 a =b = c = 0
Thay vào biểu thức ta được : M = (-1)14 + 043 +12014 = 2.

Cõu 3 ( 3điểm)

Giải phương trỡnh: (1)

Phõn tớch: 3y2 – 10y + 3 = (3y – 1)(y - 3) ; 9y2 – 1 = (3y – 1)(3y + 1)
ĐKXĐ: 
(1) 

3y + 1 = 6y(y – 3) – 2(y - 3)(3y + 1)
 y = 1 (TMĐK)
Vậy tập nghiệm của phương trỡnh là 






0,25

0,500,50

0,25




0,25

0,25

0,50
0,25
0,25




1,0

1,0



1,0
1,0
1,0







0,5
0,5

1,0




1,0
Cõu 4: ( 7 điểm)

Xột tam giỏc ABC cú: 


Đ CMAB (Do AMCD là hv) (1)


Đ (t/c đ.chộo hv)


BE//MD
1,0

 (Do MDAC) (2) 


Từ (1), (2) E là trực tõm ABC


AEBC
1,0

ĐGọi O là giao điểm của AC và DM


Do (cm a) nờn 





 cú trung tuyến OH bằng nửa cạnh DM nờn (3)
1,0
ĐGọi O’ là giao điểm của BE và MF, C/m tương tự cú 


 (4)
0,5

Từ (3) và (4) suy ra D,H,F thẳng hàng
0,5


Gọi I là giao điểm của DF và AC.


ĐKẻ IKAB thỡ IK//AD//BF (5)


ĐDMF cú: OI//MF (do )


 OD = OM (t/c đường chộo hv)


Nờn I là trung điểm DF (6)


Từ (5), (6) suy ra K là trung điểm của AB 
1,0
Và 
1,0

Do đú I là điểm cố định (I nằm trờn đường trung trực AB, cỏch AB một khoảng bằng) 
Cõu 5 ( 2 điểm)
1,0

a, b, c là ba cạnh của một tam giỏc a < b+c, b < a+c, c < a+b
0,5

Suy ra: a2 < ab + ac


 b2 < ab + bc


 c2 < ac + bc
0,5

Cộng từng vế cỏc bất đẳng thức trờn, ta cú : 


a2+b2+c2 < ab+ac+ab+bc+ac+bc a2+b2+c2 < 2(ab + bc + ca)
Cỏc cỏch giải khỏc mà đỳng vẫn cho điểm như thang điểm
1,0