Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện Yên Định năm học 2012 - 2013 môn thi: Toán
Bạn đang xem nội dung tài liệu Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện Yên Định năm học 2012 - 2013 môn thi: Toán, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN YÊN ĐỊNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 26/02/2013 (Đề thi này gồm 01 trang) Câu 1: (3 điểm) Cho A = a) Rút gọn A. b) Tìm x để A > 0 . c) Tìm giá trị lớn nhất của A . Câu 2: (6 điểm) a) Giải phương trình: b) Giải bất phương trình: |2x-7| < x2 + 2x + 2 c) Giải hệ phương trình: Câu 3 : (4 điểm) a) Cho , tính giá trị của biểu thức: b) Tìm số tự nhiên n sao cho là số chính phương. Câu 4 : (5 điểm) a) Từ một điểm A nằm ngoài (O;R) kẻ hai tiếp tuyến AM, AN (M,N(O;R)). Trên cung nhỏ MN lấy điểm P khác M và N. Tiếp tuyến tại P cắt AM tại B, cắt AN tại C. Cho A cố định và AO = a. Chứng minh chu vi tam giác ABC không đổi khi P di động trên cung nhỏ MN. Tính giá trị không đổi ấy theo a và R. b) Cho tam giác ABC có diện tích bằng 36 (đơn vị diện tích). Trên cạnh BC và cạnh CA lần lượt lấy điểm D và E sao cho DC = 3DB và EA = 2EC; AD cắt BE tại I. Tính diện tích tam giác BID. Câu 5: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Hết PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN YÊN ĐỊNH HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn thi: Toán Ngày thi: 26/02/2013 (Hướng dẫn chấm này gồm 03 trang) Câu ý Đáp án và hướng dẫn chấm Điểm 1 a ĐKXĐ: 0.25đ 0.75đ b (vì ) 0.25đ 0.75đ c Vậy GTLN của A = 0.75đ 0.25đ 2 a Đặt ta được phương trình: y =<0 (loại); với y = 2 ta có hoặc (thỏa mãn phương trình đã cho) Vậy pt đã cho có 2 nghiệm: , 0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ b Vì x2 + 2x + 2 = (x+1)2+1 > 0 Nên: |2x-7| x2+4x+4>9 (x+2)2 >9 |x+2| >3 Kết luận nghiệm bất phương trình 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ c Biến đổi Từ hệ ta có x – y > 0 Nhân hai vế của (1) với 17 và nhân hai vế của (2) với 9 rồi đồng nhất sau khi nhân ta được: 17(x – y)(x + y)2 = 9(x - y)(x2 +y2) 4x2 + 17xy + 4y2 = 0 Nếu y = 0 thì x = 0 => không thỏa mãn hệ. Nếu y 0 , chia hai vế của 4x2 + 17xy + 4y2 = 0 cho y2 và đặt t = x/y được: 4t2 +17t + 4 = 0 (t+4)(4t+1) = 0 t = - 4 hoặc t = - 1/4 x = -4y hoặc y = - 4x thay vào hệ phương trình trên được nghiệm của phương trình đã cho là: (x ; y) {(4;-1);(1;-4)} 0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ 3 a 1đ 1đ b là số chính phương nên A có dạng (Vì 23 là số nguyên tố và 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1) Vậy với n = 5 thì A là số chính phương 0.5đ 0.5đ 0.75đ 0.25đ 4 a A P M N O B C = AB+BC+CA = AB+BP+PC+CA = (AB+BM)+(CN+CA) (t/c 2 tt cắt nhau) = AM + AN = 2AM (t/c 2 tt cắt nhau) = Vì A cố định nên OA=a không đổi vậy khi P di chuyển trên cung nhỏ MN thì chu vi tam giác ABC không đổi. = Ghi chú: - Không có điểm vẽ hình. - Chứng minh mà không có hình vẽ hoặc hình vẽ sai thì không được công nhận (không có điểm). 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ b (Các đường nét đứt được vẽ thêm để gợi ý chứng minh khi chấm, học sinh phải trình bày kẻ thêm đường phụ khi chứng minh - nếu cần) A B C D E I Trình bày c/m: Trình bày c/m: => Trình bày c/m: => Ghi chú: - Không có điểm vẽ hình. - Chứng minh mà không có hình vẽ hoặc hình vẽ sai thì không được công nhận (không có điểm). 0.5đ 1.0đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 5 ĐK: x≠0, y≠0 Áp dụng bắt đẳng thức Cô-si cho bốn số dương ta có: => Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là Q = – 5/2 khi x2 = y2 = 1 0.5đ 0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.5đ Chú ý: HS có thể giải theo cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.
File đính kèm:
- de thi HSG thcs dinh tuong yen dinh.doc