Đề thi học sinh giỏi lớp 9 huyện Hoằng Hoá năm học 2012 - 2013 môn thi: Toán

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO  ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 HUYỆN HOẰNG HOÁ Năm học 2012 - 2013 
ĐỀ CHÍNH THỨC
 MÔN THI : TOÁN
 Ngày thi: 26/ 11/ 2012
 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (4,0điểm). Cho biểu thức B = 
a. Rút gọn biểu thức B.
b. Tìm x để B > 0.
c. Tìm giá trị của B khi 
Bài 2: (4,0điểm). 
a. Giải phương trình : 
b. Chứng minh rằng là số vô tỉ.
Bài 3: (3,0điểm). 
a. Vẽ đồ thị hàm số .
b. Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số ở câu a với đồ thị hàm số y = 3x – 5.
Bài 4: (4,0điểm). 
Cho đường tròn (O ; R) đường kính AB. Trên các bán kính OA, OB lần lượt lấy các điểm M và N sao cho OM = ON. Qua M và N vẽ các dây CD và EF song song với nhau (C, E cùng thuộc một nửa đường tròn đường kính AB).
a. Chứng minh tứ giác CDFE là hình chữ nhật. 
b. Cho , góc nhọn giữa CD và OA bằng 600. 
Tính diện tích hình chữ nhật CDFE.
Bài 5: (2,0điểm).
Một ngũ giác có tính chất: Tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh liên tiếp của ngũ giác đều có diện tích bằng 1. Tính diện tích ngũ giác đó. 
Bài 6: (3,0điểm).
Cho là các số thực, chứng minh rằng: 
Tìm tất cả các số tự nhiên có ba chữ số sao cho 
Với n là số nguyên lớn hơn 2.
 Hết
Họ tên thí sinh:...................................................... Chữ kí của giám thị: 1.........................
Số báo danh:.................................... Chữ kí của giám thị: 2........................
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO  ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 HUYỆN HOẰNG HOÁ Năm học 2012 - 2013 
ĐỀ CHÍNH THỨC
 MÔN THI : TOÁN
 Ngày thi: 26/ 11/ 2012
 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (4,0điểm). Cho biểu thức B = 
a. Rút gọn biểu thức B.
b. Tìm x để B > 0.
c. Tìm giá trị của B khi 
Bài 2: (4,0điểm). 
a. Giải phương trình : 
b. Chứng minh rằng là số vô tỉ.
Bài 3: (3,0điểm). 
a. Vẽ đồ thị hàm số .
b. Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số ở câu a với đồ thị hàm số y = 3x – 5.
Bài 4: (4,0điểm). 
Cho đường tròn (O ; R) đường kính AB. Trên các bán kính OA, OB lần lượt lấy các điểm M và N sao cho OM = ON. Qua M và N vẽ các dây CD và EF song song với nhau (C, E cùng thuộc một nửa đường tròn đường kính AB).
a. Chứng minh tứ giác CDFE là hình chữ nhật. 
b. Cho , góc nhọn giữa CD và OA bằng 600. 
Tính diện tích hình chữ nhật CDFE.
Bài 5: (2,0điểm).
Một ngũ giác có tính chất: Tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh liên tiếp của ngũ giác đều có diện tích bằng 1. Tính diện tích ngũ giác đó. 
Bài 6: (3,0điểm).
Cho là các số thực, chứng minh rằng: 
Tìm tất cả các số tự nhiên có ba chữ số sao cho 
Với n là số nguyên lớn hơn 2.
 Hết
Họ tên thí sinh:...................................................... Chữ kí của giám thị: 1.........................
Số báo danh:.................................... Chữ kí của giám thị: 2........................
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 HUYỆN HOẰNG HÓA	 Năm học: 2012-2013
 MÔN THI: TOÁN
Bài
Hướng dẫn
Điểm
Bài 1
4đ
a.(2đ) ĐKXĐ : x > 1.
 B = 	
B = 
B = 
B = 	 	 	 	 
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
(1đ) Với x > 1 ta có : B > 0 
(*) đúng với mọi . Vậy B > 0 khi x > 1 và 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
c. (1đ) 
thay vào B = ta có: 
B = 
Vậy với thì B = 7.
0,5đ
0,25đ
0,25đ
Bài 2
4đ
a.(2đ) Đk : 
 (1)
Áp dụng bất đẳng thức vào (1) ta có : 
Dấu bằng xảy ra 
 (vì )
Kết hợp với điều kiện, ta có 
Vậy nghiệm của phương trình là : 
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
b. Giả sử: là số hữu tỉ. Đặt 
Khi đó ƯCLN(a;b) mâu thẫn với ƯCLN(a;b) = 1.
Vậy là số vô tỉ.
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
Bài 3. (3đ)
a. (1,5đ) Vẽ đồ thị hàm số 
1
x
y
O
Nhận xét rằng với mọi x. 
Ta có đồ thị hàm số : 
 Vẽ đúng đồ thị 
0,5đ
0,5đ
0,5đ
b.(1,5đ) Giả sử M(x0 ; y0) là tọa độ giao điểm của hai đồ thị hai hàm số 
 và y = 3x – 5 . ta có : 
 đk : 
TH1: ( nhận)
TH2: ( loại)
Với x0 = 6 thì y0 = 13. 
Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là M(6 ; 13)
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Bài 4 (4đ)
a. (2đ) Vẽ OH vuông góc với CD, OH cắt EF tại K, suy ra HK vuông góc với EF ( vì CD // EF). Suy ra HC = HD; KE = KF.
Ta chứng minh được ( cạnh huyền - góc nhọn)
Suy ra OH = OK, suy ra CD = EF, từ đó suy ra tứ giác CDEF là hình bình hành.
Lại có KH là đường trung bình của hình bình hành CDFE, nên HK // CE, suy ra . Vậy tứ giác CDFE là hình chữ nhật.
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0.5đ
b. (2đ) Ta có 
Suy ra 
Vậy (đvdt)
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
Bài 5 (2đ)
A
B
C
E
D
I
Giả sử ngũ giác ABCDE thoả mãn đk bài toán .
 DBCD và DECD có SBCD = SECD = 1, đáy CD chung nên các đường cao hạ từ B và E xuống CD bằng nhau => EB // CD.
Tương tự AC// ED, BD //AE, CE // AB, DA // BC
Gọi I = EC Ç BC => ABIE là hình bình hành.
=> SIBE = SABE = 1. Đặt SICD = x < 1
=> SIBC = SBCD - SICD = 1-x = SECD - SICD = SIED
Lại có hay => x2 - 3x + 1 = 0
 => x = 	do x x = . 
Vậy SIED = . Do đó SABCDE = SEAB + SEBI + SBCD + SIED
 = 3 += (đvdt)
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Bài 6 (3đ)
a. (1,5đ )Áp dụng bất đẳng thức x2 + y2 2xy, ta có: 
 (1)
Mặt khác : 
 (2)
Từ (1) và (2) ta có (đpcm).
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
b. (1,5đ ) (1)
 (2)
Từ (1) và (2) ta có: (3)
Mặt khác 
Từ (3) và (4) 
Vậy 
0,25đ
0,2đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ 
Chú ý: 
Học sinh làm cách khác đúng thì cho điểm tối đa.
Bài hình không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm điểm.