Đề thi học sinh giỏi lớp 9 môn Toán - Trường thcs Hà Châu

Trường thcs hà châu
đề thi học sinh giỏi lớp 9 . Môn : Toán
“thời gian 150 phút không kể chép đề”
Câu 1: (6 điểm )Cho biểu thức :
A = 
a)Tìm điều kiện của xđể A có nghĩa.
b)Rút gọn biểu thức A
c)Tìm các giá trị nguyên của xđể giá trị của A là một số nguyên .
Câu 2 : (4 điểm) 
Cho x+y=1. Chứng minh rằng :
 2x +3y13
Chứng minh bất đẳng thức sau với n là số nguyên dương :
 +++.+< .
Câu 3: (5 điểm)
 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB; M là một điểm thuộc nửa đường tròn . Từ M kẻ tiếp tuyến với đường tròn. Gọi D và C theo thứ tự là các hình chiếu của A và B trên tiếp tuyến ấy .
Chứng minh rằng M là trung điểm của CD .
Chứng minh rằng : AB = BC+AD.
Giả sử : AOM BOM , Gọi E là giao điểm của AD với đường tròn . xác định dạng của tứ giác BCDE.
Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn sao cho tứ giác ABCD có diện tích lớn nhất . Tính diện tích đó theo bán kính của nửa đường tròn đã cho .
Câu 4: (3 điểm)
Chứng minh rằng : Trong một tam giác , đường phân giác ứng với cạnh lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng đường cao ứng với cạnh nhỏ nhất.
Câu 5 : (2 điểm)
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
 3x + 5y = 345
Trường trung học cơ sở hà châu
đáp án môn toán lớp 9 năm học 2008-2009
Câu 1: (6.0đ)
a, A có nghĩa khi và chỉ khi
 0.5đ
 0.5đ
b.
1đ
1đ
1đ
0.5đ
c.	
Với để AZ thì là ước của 2 
Vì x nên do đó
0.5đ
nên x = 0 => A = 3
nên x = 4 => A = -1
0.5đ
0.5đ
nên x= 9 => A = 0
với x= 0 ; x =4 ; x= 9 thì giá trị của biểu thức A là một số nguyên.
Câu 2 (4.0đ)
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacỗpxki cho hai cặp số 2;3;x;y ta có
1đ
0.5đ
Dấu “=” xảy ra khi và chỉkhi 
 0.5đ
0.5đ
Hoặc x= y = 
Hoặc x= y = 
ta biến đổi số hạng tổng quát
0.5đ
 < 
 Với k=1 ta có 0.25 đ
 Với k= 2 ta có 0.25 đ 
Với k = 3 ta có 0.25 đ
k = n ta có 0.25 đ
cộng vế với vế ta có 
	 0.25 đ
D
E
C
A
O
M
Vậy 	 0.25 đ
Câu 3 (5điểm)
B
OMDC vì DC là tiếp tuyến tại M
a.	Ta có // BC//OM
Do đó tứ giác ABCD là hình thang 0.5đ
Ta lại có OA = OB = R => MC = MD 
Vậy M là trung điểm CD 	 0.5đ
b.	 Vì MO là đường trung bình của hình thang ABCD 
 	=>OM = 
=> BC +AD = 2OM (1)	 0.5đ
Mặt khác OA = OB = OM = AB => AB = 2OM (2)
Từ (1) và (2) => AB = BC +AD	0.5đ
c. 	Tứ giác BCDE có 
 => tứ giác BCDH là hình chữ nhật 1.0 đ
d.	
 Gọi diện tích ABCD là S 
ta có S = 1.0 đ 
Max S = 2R2 ú OM 	 1.0 đ
 A
Câu 4. (3.0đ)
 H
 M
 B D C
 xét đường phân giác AD đường cao CH 
Kẻ DM ta có :
AC (1)	 1.0đ
Mặt khác góc A là góc lớn nhất của tam giác ABC nên 
 (2) 1.0đ 
Từ (1) và (2) => AD CH	 1.0đ
Câu 5. (2.0đ)
Ta có 3x2 =-5y2+345
 3x2 = 5(69 – y2)
Ta thấy vế phảI chia hết cho 5 thì vế tráI chia hết cho 5	 1.0 đ 
chia hết cho 5 => x2 chia hết cho 5 => x chia hết cho 5
Mà x10 nên x= 5 hoặc x= 10
Với x = 5 ta có 3. 52 = -5y2+345
ú 5y2 = 270
=>y = vôlý 	 0.5đ
Với x = 10 => 3.102 +5y2 = 345 
5y2 = 45 => y = 3 (thỏa mãn) 	 0.5đ
Vậy x = 10 ; y = 3 là nghiệm của hệ phương trình
 Giáo viên ra đề 
Nguyên Thị Huyền