Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm 2008 - 2009 môn: Toán

doc6 trang | Chia sẻ: minhhong95 | Lượt xem: 558 | Lượt tải: 1download
Bạn đang xem nội dung tài liệu Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm 2008 - 2009 môn: Toán, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Mã kí hiệu
Đ01T- 09 – HSG9
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2008-2009
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút không kể giao đề
(Đề này gồm 6 câu 01 trang)
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a/ A = + 
b/ B = 
c/ C = +
d/ D = với x = và a > b > 0.
Bài 2: Giải phương trình:
 2(x2 + 2x + 3) = 5
Bài 3: Chứng minh nếu xyz = 1thì:
Bài 4: Cho điểm C thuộc (O;R); AB = 2R thỏa mãn BC = R. Trên đoạn thẳng CO lấy các điểm M và N sao cho CO = 2CM = 3NO. Các đường thẳng AM và AN lần lượt cắt CB tại I và K.
a/ Tính số đo CMK.
b/ Chứng minh: Các điểm M, N, K, I cùng thuộc một đường tròn.
Bài 5: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn: a 4; b5; c6 và a2 + b2 + c2 = 90
 Chứng minh rằng: a + b + c 16
Bài 6: M là một điểm nằm ở miền trong tam giác ABC. Các đường thẳng AM, BM, CM lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại A1, B1,C1. Tìm vị trí điểm M sao cho P = đạt giá trị nhỏ nhất.
-----------------Hết-------------------
Mã kí hiệu
HD01T- 09 – HSG9
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008-2009
Môn: Toán 9
Nội dung
Điểm
Bài 1
4 điểm
a/
A = 
0,5 điểm
 = 
 = + = = 1
0,5 điểm
b/
B = 
0,5 điểm
 = = = 
0,5 điểm
c/ 
Đặt x = ; y = 
Ta có : C = x + y suy ra C3 =x3 + y3 + 3xy(x+y)
0,5 điểm
 C3 =364 +3A
 (C-7)(C2 + 7C + 52) (*)
 C3 + 3C - 364 = 0 Vì C2 + 7C + 52 = (C + )2 + > 0.
0,5 điểm
Nên (*) C = 7
Vậy C = 7
d/ 
x- 1 = - 1 = > 0 với a,b > 0
x+1 = + 1 = > 0 với a,b > 0
Nên ; Luôn xác định a,b > 0
0,5 điểm
D = 
0,5 điểm
 = = x + 
Thay x = vào D rút gọn được D = 
Bài 2
4 điểm
 2(x2 + 2x + 3) = 5 ( đk x -2)
0,5 điểm
2(x+2)+2(x2 + x + 1) = 5 
0,5 điểm
Ta có: x2 + x + 1 = (x +) + > 0 
Chia cả hai vế của phương trình cho x2 + x + 1 > 0 
 2 + 2 = 5(*)
0,5 điểm
0,5 điểm
Đặt t = 0
(*) 2t2 -5t + 2 = 0
Giải được t1 = 2; t2 = (Thỏa mãn đk: t 0
0,5 điểm
+ t1 = 2 = 2 
0,5 điểm
 4x2 + 3x + 2 = 0 (PT vô nghiệm)
+ t2 = = 
0,5 điểm
 x2 - 3x - 7 = 0
0,5 điểm
Giải được: x1 = ; x1 = (tmdk: x -2)
KL: ..
Bài 3:
2 điểm
Vì xyz = 1 nên suy ra x, y, z 0
0,25 điểm
Xét A = 
0,25 điểm
 = 
0,25 điểm
 = (đpcm)
0,25 điểm
Bài 4
I’
b
k
i
N’
m
n
o
c
a
4 điểm
a/
Có C (O,R) ; AB = 2R; BC = R (gt) 
Suy ra: BC2 = 2 R2 = OB2 + OC2 OBC vuông tại O (Pitago) hay AB OC tại O Mà OB = OC = R 
 OBC vuông cân tại O BCO = 450 (1)
1,0 điểm
Lại có CO = 2CM = 3NO (gt) (2)
 M là trung điểm của CO và N là trọng tâm của tam giác ABC 
 K là trung điểm của BC 
0,5 điểm
 KM // BO (T/c đường trung bình của tam giác)
 KM OC CMK = 900 (Đpcm)
0,5 điểm
b/
+ Kẻ N’ đối xứng N qua M
Từ (2) MN = NN’ = 2 MN = (3)
 CN’ = (4)
+ Kẻ I’ đối xứng I qua K
 IN’ // I’N // KM (Talet đảo)
 IN’ CN’ tại N’ (vì KM OC )
và có (1) BCO = 450 
 CIN’ vuông cân tại N’ (5)
0,5 điểm
0,5 điểm
Từ (5) IN’ = CN’ (Đn)
 IN’ = CN’ = NN’ = = CN và có (1) BCO = 450 
 CIN vuông cân tại I
 KIN = 900 (bù với CIN = 900 ) (6)
0,5 điểm
Mặt khác, có KM OC (cm trong a)
 KMN = 900 (7)
Từ (6) và (7) M, I đường tròn đường kính KN
Tứ giác MNKI nội tiếp đường tròn đường kính KN (Đpcm)
0,5 điểm
Bài 5
3 điểm
Đặt a = x + 4 ; b = y + 5 ; c = z + 6 (với x, y, z 0)
0,5 điểm
Vì a2 + b2 + c2 = 90
0,5 điểm
Suy ra: x2 + y2 + z2 + 8x + 10y + 12z = 13 (1)
Vì x, y, z 0 nên ta có 2xy + 2xz + 2zx + 4x + 2y 0 (2)
0,5 điểm
Từ (1) và (2) suy ra: (x+ y + z)2 + 12(x + y + z) - 13 0 
0,5 điểm
 ( x + y + z - 1)(x + y + z + 13) 0 
( x + y + z - 1) 0 ( vì x + y + z + 13 > 0 với x, y, z 0)
0,5 điểm
x + y + z 1
Suy ra a + b + c = x + 4 + y + 5 + z + 6 16 (đpcm) 
0,5 điểm
Bài 6
3 điểm
Từ M kẻ các đường thẳng song song với AB, AC lần lượt cắt BC lần lượt tại D và E.
0,5 điểm
Đặt BD = x; DE = y; EC = z ( x, y, z > 0)
Theo định lí ta lét ta có: 
0,5 điểm
 ; 
0,5 điểm
Ta có: 
 (Bất đẳng thức cô si)
0,5 điểm
 (Dấu " =" xảy ra khi x = y = z khi đó M là trọng tâm của tam giác ABC)
0,5 điểm
Vậy P = đạt giá trị nhỏ nhất bằng 8 khi M là trọng tâm của tam giác ABC.
0,5 điểm
Chú ý:- Điểm toàn bài là 20 điểm
 - Nếu học sinh làm bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
Người ra đề
 Trịnh Văn Dũng
Người duyệt đề
 Bùi Văn Chiến
Xác nhận của nhà trường

File đính kèm:

  • docMON TOAN.doc