Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2000-2001

Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2000-2001
Câu1: Cho hàm số y = mx2 +2(m-2)x- 3m + 2
CMR đồ thị của hàm số luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của m.
Câu2: Giả sử a,b,c,x,y,z là những số khác 0 thỏa mãn: và . Chứng minh rằng: 
Câu3: Cho x > y và xy = 1. CMR: 
Câu4: Tìm nghiệm nguyên của hệ bpt: 
Câu5: Cho đường tròn (O) và đường thẳng d cắt đường tròn (O) tại hai điểm A và B. Từ một điểm M bất kỳ trên d và nằm ở miền ngoài đường tròn (O) kẻ các đường tiếp tuyến MP và MN(P và N là các tiếp điểm)
 a) CMR: khi M di động trên d thì đường tròn ngoại tiếp MNP luôn đi qua hai điểm cố định.
 b) Tìm tập hợp các tâm đường tròn ngoại tiếp MNP khi M di động trên d.
 c) Xác định vị trí của M để MNP đều.
Bài làm
Câu1: 
 Giả sử đồ thị của hàm số y = mx2 +2(m-2)x- 3m + 2 luôn đi qua điểm M(x0;y0) với mọi giá trị của m mx02 + 2(m- 2)x0 – 3m + 2 = y0 với mọi giá trị của m 
m(x02 + 2x0- 3) + 2- 4x0- y0= 0 với mọi giá trị của m 
 Vậy đồ thị của hàm số y = mx2 +2(m- 2)x- 3m + 2 luôn đi qua hai điểm cố định (1;-2) và (-3; 14) với mọi giá trị của m.
Câu2
 Ta có: ayz + bxz + cxy = 0
 12 = 
Câu3: Cho x > y và xy = 1. CMR: 
 Ta có: 
 Luôn đúng
Câu5
Gọi H là hình chiếu của O lên đường thẳng d. 
 Vì O và d cố định nên H cố định
 Ta có: (gt)
 (gt)
 OPMN nội tiếp đường tròn
 Ta lại có: OHPM nội tiếp đường tròn
 Năm điểm O, H, P, M, N cùng nằm trên một đường tròn
 khi M di động trên d thì đường tròn ngoại tiếp MNP luôn đi qua hai điểm cố định O và H.
 b) Vì đường tròn ngoại tiếp MNP luôn đi qua hai điểm O và H nên tâm của đường tròn ngoại tiếp MNP nằm trên đường trung trực của OH.
 Vậy khi M di động trên d thì tâm đường tròn ngoại tiếp MNP nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng OH.
 c) Khi MNP đều = 600 = 300
 OP = OMOM = 2.OP = 2R.
 Vậy khi M cách O một khoảng bằng 2R thì MNP đều
Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2002-2003
Câu1: 1. Giải pt: 
 2. Cho pt: x2- 2mx + 2m – 1 = 0
 a) Chứng tỏ rằng pt có nghiệm x1, x2 với mọi m.
 b) Đặt A = 2(x12 + x22)- 5x1x2.
 CM: A = 8m2- 18m + 9
Câu2: a) Tìm nghiệm nguyên dương của pt: 
 b) Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = . CM: 
Câu3: Giải hệ pt: 
Câu4: Cho hbh ABCD và I là trung điểm của CD. Đường thẳng BI cắt tia AD tại E.
 a) CMR: BIC = EID.
 b) Tia EC cắt AB tại F. CMR: FC//BD.
 c) Xác định vị trí của điểm C đối với đoạn thẳng EF.
Câu5: Từ một điểm S ở bên ngoài đường tròn (O) kẻ hai cát tuyến SAB, SCD đến đường tròn. CMR: nếu AB = CD thì SA = SC
Bài làm
Câu1: 1. Giải pt: 
 2. x2- 2mx + 2m – 1 = 0 (1)
 a) Ta có: = (-m)2- 1.(2m- 1) = m2- 2m + 1 = (m- 1)2
 Vì (m- 1)2 0 với mọi m nên pt (1) luôn có nghiệm x1, x2 với mọi m.
 b) Ta có: A = 2(x12 + x22)- 5x1x2 = 2(x1 + x2)2 – 9x1x2
 Theo vi-et ta có: x1 + x2 = 2m
 x1.x2 = 2m- 1
 A = 2(2m)2- 9(2m- 1) = 8m2- 18m + 9 _đpcm.
Câu2: a) Ta có: x,y,z > 1 
 Giả sử xyz1z3
 Vì z nguyên dương z = 2;3.
 * Nếu z = 2 ta có: = 1= x,y > 2
 Vì xyy4
 Vì y nguyên dương y = 3;4
 + Nếu y = 3= x = 6
 + Nếu y = 4= x = 4
 * Nếu z = 3 ta có: = 1= x,y>
 Vì xyy3
 Vì y nguyên dương y = 2;3
 + Nếu y = 2= x = 6
 + Nếu y = 3= x = 3
 Vậy nghiệm nguyên dương của pt là: (3;3;3); (6; 2; 3); (6; 3; 2); (3; 2; 6); (3; 6; 2); (2; 3; 6); (2; 6; 3); (2; 4; 4); (4; 2; 4); (4; 4; 2)
 b) Ta có
 luôn đúng
 Câu3: Ta có: 
 Hệ pt (I) vô nghiệm
 Hệ pt(II) có nghiệm hoặc 
 Vậy hệ pt đã cho có nghiệm hoặc 
Câu4: 
 a) Xét BIC và EID có: 
 (so le trong)
 IC = ID (gt)
 (đối đỉnh)
 BIC = EID (g.c.g)
 b) Ta có: BIC = EID (câu a)
 BC = ED
 Mà BC = AD AD = ED
 CD là đường trung bình của AEF CD = AB = BF BFCD là hình bình hành
 FC // BD
 c) Vì CD là đường trung bình của AEF (c/m trên) C là trung điểm của đoạn thẳng EF.
Câu5: Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của O lên AB và CD
 Vì AB = CDOH = OK
 Xét SOH và SOK có:
 SO là cạnh chung
 OH = OK (c/m trên)
 SOH = SOK (cạnh huyền- cạnh góc vuông)
 SH = SK (1)
 Mặt khác AB = CD AH = CK (2)
 Từ (1) và (2) SA = SC
Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2003-2004
Câu1: a) Tìm xN biết: 
 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = 
 Trong đó x,y,z là các số dương thỏa mãn: 
Câu2: a) Cho x- y = 4; x2 + y2 = 36. Tính x3- y3.
 b) Cho các số thực a, b, x, y thỏa mãn điều kiện: a + b = 3; ax + by = 5; ax2 + by2 = 12; ax3 + by3 = 31. Tính ax4 + by4
Câu3:a) Giải pt: với điều kiện y0.
 b) Giải hệ pt: 
Câu4: Giả sử x,y,z là các số nguyên không âm thỏa mãn diều kiện sau: 
 Trong đó b > 0 cho trước. CMR:
 a) Nếu b3 thì (x+y+z)max= 36
 b) Nếu b<3 thì (x+y+z)max= 24 + 
Câu5: Cho đường tròn (O;R) và điểm A với OA = R. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN.
 a) CM AMON là hình vuông
 B) Gọi H là trung điểm của MN. CMR: A, H, O thẳng hàng
 c) Một đường thẳng (m) quay quanh A cắt đường tròn (O) tại P và Q. Gọi S là trung điểm của dây PQ. Tìm quỹ tích điểm S
 d) Tìm cị trí của đường thẳng (m) để AP + AQ max
 e) Tính theo R độ dài HI trong đó I là giao điểm của AO với cung nhỏ MN.
Bài làm
Câu1: a) Ta có: 
 Ta lại có: 
 Do đó 
 Vậy với x = 2003 thì 
 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = 
 Trong đó x,y,z là các số dương thỏa mãn: 
Câu2: a) Ta có: (x- y)2 = x2 + y2- 2xy 2xy = x2 + y2- (x- y)2 = 36- 16 = 20xy = 10
 x3- y3 = (x- y)(x2 + xy + y2) = 4.(36 + 10) = 184
 b) Ta có: ax2 + by2 = (ax + by)(x + y)- (a + b)xy (1)
 ax3 + by3 = (ax2 + by2)(x + y)- (ax + by)xy (2)
 ax4 + by4 = (ax3 + by3)(x + y)- (ax2 + by2)xy (3)
 Từ (1) và (2) ta có 
 ax4 + by4 = 31.3- 12.1= 81
Câu3:a) Giải pt: với điều kiện y0.
 Ta có: 
 b) Giải hệ pt: 
Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2004-2005
Câu1:(3,5đ) Giải các pt sau:
 a) 
 b) 
Câu2:(4,5đ) Gọi d là đường thẳng y = 2x + 2 cắt trục hoành tại M và trục tung tại N
 a)Viết pt của đường thẳng d1//d và đi qua điểm P(1;0) 
 b) d1 cắt trục tung tại Q, tứ giác MNPQ là hình gì?
 c) Viết pt đường thẳng d2 qua N và vuông góc với d
 d) d1 và d2 cắt nhau tại A. Tìm tọa độ của A và tính khoảng cách AN.
Câu3:(2đ) Giải hệ pt: 
Câu4:(2đ) Tìm giá trị của x sao cho thương của phép chia 2004x + 1053 cho x2 + 1 đạt giá trị bé nhất có thể được.
Câu5:(8đ) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và M là một điểm nằm trên nửa đường tròn đó. Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By lần lượt tại C và D.
 a) CMR: CD = AC + BD và COD vuông
 b) OC và OD cắt AM và BM theo thứ tự tại E và F. Xác định tâm P của đường tròn đI qua bốn điểm O, E, M, F.
 c) CM: ACDB có diện tích nhỏ nhất khi nó là hình chữ nhật và tính diện tích nhỏ nhất đó.
 d) Khi M chạy trên nửa đường tròn tâm O thì điểm P chạy trên đường nào?
Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2005-2006
Câu1:(4d) Cho biểu thức: A = 
 a) Rút gọn biểu thức A
 b) Tìm x để A < 1.
 c) Tìm giá trị nguyên của x để giá trị tương ứng của A cũng là số nguyên.
Câu2:(3đ)
 a) Tìm nghiệm nguyên của pt: (x+5)2 = 64(x-2)3 
 b) Số 2100 có bao nhiêu chữ số.
Câu3:(4đ) Giải pt và bpt sau: 
 a) 
 b) 
Câu4:(2d) Cho a, b, c > 0 và a + b + c =1. Chứng minh rằng: 
Câu5:(4đ) Cho đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Qua điểm M trên cung nhỏ AB vẽ đường tròn tâm tiếp xúc trong với đường tròn (O) cắt MA, MC lần lượt ở N và P. Chứng minh: a)NP//AC
 b) MA + MB = MC
Câu6:(3đ) Cho MNP có các đỉnh M, N, P lần lượt di động trên ba cạnh BC, AB, AC của nhọn ABC cho trước. Xác định vị trí của M, N, P để chu vi MNP đạt giá trị nhỏ nhất.
Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2006-2007
Câu1:(4đ) Trên hệ trục Oxy
 a) Viết pt đường thẳng đi qua A(-2; 3) và B(1; -3) 
 b) Đường thẳng AB này cắt trục hoành tại C và trục tung tại D. Xác định tọa độ của C và D. Tính 
 c) Tính khoảng cách CD
Câu2:(4đ) Giải hệ pt
Câu3:(4đ) Cho biểu thức: B = 
 a) Rút gọn B
 b) Với x = ? thì B = 
Câu4:(8đ) Trong (O;R) cho hai dây AB và CD vuông góc với nhau()
 1. a) CMR: AB2 + AC2 = 4R2
 b) Cho AB = R hãy tính AC và khoảng cách từ tâm O đến hai dây AB và AC.
 2. Kẻ hai dây AD và BE hợp với AB góc 450. DE cắt AB tại P
 a) CMR: DEAB
 b) Gọi OF là khoảng cách từ O đến DE. Tính khoảng cách từ O đến DE và độ dài các đoạn thẳng PA, PB, PD, PE khi AB = R 
 3. Nối CE. Hỏi ADEC là tứ giác gì?
 4. Trong trường hợp tổng quát cho hai dây AB và DE vuông góc với nhau tại P. CMR:
 PA2 + PB2 + PD2 + PE2 = 4R2.