Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học: 2005 - 2006 môn thi: toán

Trường THCS Bồ Lý	 Đề thi học sinh giỏi lớp 9
	Năm học: 2005 - 2006
	 Môn: Toán
	( Thời gian 150 phút, không kể thời gian giao đề)

Đề bài:

Câu 1: a) Cho a+b = p, p là một số nguyên tố. Chứng minh a và b nguyên tố cùng nhau.
	 b) Tìm số nguyên dương nhỏ nhất chia cho 100 dư 1 và chia cho 761 thì dư 8.
Câu 2: Cho a2 +a +1 = 0 . Tính giá trị của biểu thức:

Câu 3: Cho 	
	 Chứng minh: 	
Câu 4: Chứng minh rằng, với mọi số tự nhiên n ta có:
	
Câu 5: Cho tam giác đều ABC cạnh a, và M là một điểm tuỳ ý trong tam giác. Chứng minh rằng tổng số các khoảng cách từ M đến 3 cạnh của tam giác không phụ thuộc vào vị trí của điểm M nằm trong tam giác.
Câu 6: Cho tamgiác ABC cân tại A. Dựng trung tuyến AM và phân giác BD, xác định các góc của tam giác ABC, biết BD = 2.AM
Câu 7: Giải phương trình:


---------------------------






Trường THCS Bồ Lý	Đáp án
	 chấm thi học sinh giỏi năm học 2005 - 2006
	 môn toán lớp 9
Câu 1: (2điểm)
a) giả sử a và b không nguyên tố cùng nhau, Ta suy ra a và b có ít nhất một ước số d>1

trái giả thiết là p nguyên tố.Vậy (a,b) = 1	1 đ
b) Gọi a là số phải tìm, aẻZ+ , ta có:
	a=1000x + 1= 761y + 8 ( x,yẻ Z+)
Û
Với x>0, y>0 ta có: tÊ 1 ị x + y = 1960 - 1761t
ị ( x+y) nhỏ nhất khi t lớn nhất Û t=1
Do đó x = 86 ; y = 113	1đ
Câu 2: (1 điểm)
Từ a2 + a+1 = 0 ị aạ 1
ị ( a-1)(a2+a+1) = 0
ị a3 - 1 = 0 ị a3 = 1	0,5đ
Ta viết: P=
thay a3 = 1 ị P = 	0,5đ

Câu 3: (1,5điểm)
Đặt 	
ị	0,5đ
Sau đó tính : a2 - bc; b2 - ca; c2 - ab theo x,y,z,k và suy ra:	1đ
	
Câu 4: ( 1,5 điểm)
Với n = 0 ta có: 32 +2 = 1111
giả sử đúng với n = k, tức là:
ta cần chứng minh đúng đến n = k+1, tức là cần chứng minh:
	
Ta có: 

Mà 
và 216 +2 = 2(215 +1) = 2(25.3 + 1) = 2(323 +1)11
Vậy: với mọi nẻN ị đpcm.	 
Câu 5: (1,5 điêm)	
H
M
I
K
B
C
A
Kẻ MH ^ AB, MI ^ BC, MK ^ CA 
Ta có : SMAB+SMBC+SMCA =SABC	 	
	
	 không đổi	
	Vậy tổng khoảng cách từ M đến 3 cạnh của tam giác, không phụ thuộc vào vị trí của M nằm trong tam giác.
Câu6: ( 1,5 điểm)

Đặt ABC = 2a Với 0<a<900

K
M
D
H
C
B
A
ịABC = ACB = 900 - a ị ABD = CBD = 
Gọi N là trung điểm của AB ị MN// AC và MN cắt BD tại 
trung điểm K của BD 
ị KD = AM. Do đó ADMK là hình thang cân

ị BDA = MAC = a. 
Mặt khác: 	BDA = CBD + ACB = 
Suy ra: a = ị a = 540
Vậy các góc của tam giác ABC là:	

Câu7: ( 1 điểm) 
 Phương trình tương đương với: