Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học: 2005 - 2006 môn: toán

Trường THCS Bồ Lý	 Đề thi học sinh giỏi lớp 9
	Năm học: 2005 - 2006
	 Môn: Toán
	( Thời gian 150 phút, không kể thời gian giao đề)

Đề bài:
Câu 1: a)Tìm số dư trong phép chia 32003 chia cho 13
	 b) Chứng minh rằng:
	22225555 + 55552222 7
Câu 2: Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thoả mãn:
	a3 + b3 + c3 - 3abc = 0
	 Hỏi tam giác này là tam giác gì ?
Câu 3: Cho x, y, z là các số dương thoả mãn điều kiện: xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 	 	 biểu thức;
	E = 
Câu 4: Chứng minh rằng, nếu ba số a,b,c thoả mãn:
	a+b+c = 2000 và 
	thì một trong ba số a,b,c phải có một số bằng 2000
Câu 5: Cho tam giác nhọn ABC , các đường cao AA’ , BB’ , CC’ đồng quy tại H. Chứng 	minh rằng:
	
	Dấu “=” xảy ra khi nào ?
Câu 6: Cho tam giác ABC và một điểm M bất kỳ nằm trong tam giác. Chứng minh rằng:
	a) 	MB + MC < AB + AC
	b)	 p < MA + MB + MC < 2p 	( p là nửa chu vi của tam giác ABC)


____________________________



Trường THCS Bồ Lý	Đáp án
	 chấm thi học sinh giỏi năm học 2005 - 2006
	 môn toán lớp 9
Câu 1: (2 điểm). đúng mỗi phần cho 1 điểm
a)Ta có 33 =27 º 1 ( mod 13)
mà 2003 = 3.667 + 2
ị 32003 = 33.667+2 = º 9 ( mod 13)
Vậy dư trong phép chia 32003 chia cho 13 là 9

b) Ta có 2222 º - 4 ( mod 7) và 5555 º 4 ( mod 7)
ị 22225555 + 55552222 º (- 4)5555 + ( 4)2222 ( mod 7)
mà (- 4)5555 + (4)2222 = (- 4)2222( 43333 - 1) 43 -1 = 63 7
Vậy 	22225555 + 55552222 7
Câu 2: (1,5 điểm)
áp dụng hằng đẳng thức:
	a3 + b3 + c3 - 3abc = ( a+b+c)( a2 + b2 +c2 - ab - ac - bc)	 mà từ giả thiết suy ra:
	( a+b+c)( a2 + b2 +c2 - ab - ac - bc) = 0	0,25 đ	
mà a+ b + c > 0 ị a2 + b2 +c2 - ab - ac - bc = 0	0,25đ
ị 2a2 +2 b2 +2c2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0
ị ( a - b)2 + ( b - c)2 + ( c - a)2 = 0	0,5đ
ị a - b = 0, 	b - c = 0,	c - a = 0
ị a = b = c	ị tam giác đó là tam giác đều.	0,5đ
Câu 3: (2 điểm)
Đặt 	ị abc = 1
ị x + y = c(a + b) ; y + z = a(b + c) ; z + x = b( c + a)
ị E = 	0.5đ	
theo bất đẳng thức Bunhiacopxki:

ị	
ị	0,5 đ
ị E 3/2 ị min E = 3/2 khi và chỉ khi a = b = c = 1	1đ
Câu 4: (1,5 điểm)
Từ giả thiết suy ra : 	0,25đ
	ị 	
	ị	0,25đ
	ị	0,5đ
Nếu a+b=0 mà a+b+c = 2000 	ị c = 2000
Nếu b+c=0 mà a+b+c = 2000 	ị a = 2000
Nếu a+c=0 mà a+b+c = 2000 	ị b = 2000	0,5đ

Câu 5: (1,5 điêm)
	Gọi S1= SHBC,	S2= SHCA,	S3 = SHAB,	S = SABC
ịS = S1+ S2 + S3
H
A'
B'
C'
C
B
A
ta có:	0,5 đ
	
	0,25đ
	 	
	0.5đ
Dấu ‘=’ xảy ra khi S1 = S2 = S3 ị tam giác ABC là tam giác đều.	0,25đ	
Câu 6: ( 1,5 điểm)
a) Gọi I là giao điểm của BM và cạnh AC. Trong tam giác BAI ta có:
	BI < AB + AI ị MB + MI < AB + AI (1)	0,25đ	
Trong tam giác MIC , ta có:	
	MC < MI + IC	(2)	 0,25đ
Từ (1), (2) ị MB+ MI + MC < AB + AI + MI + MC
ị MB + MC < AB + AC với mọi M nằm trong tam giác ABC	0.25đ
b) Tương tự ta có:
	MC + MA < AB + BC
	MA + MB < AC + BC	0,25đ
ị 2.( MA + MB + MC ) < 2.( AB + AC + BC)
ị MA + MB + MC < 2p	0,25đ
M
I
C
B
A
Mặt khác, ta lại có:
	BC < MB + MC
	AC < MC + MA
	AB < MA + MB
ị AB + AC + BC < 2.( MA + MB + MC)	 	 
ị p < MA + MB + MC
Vậy p < MA + MB + MC < 2p	0,25đ