Đề thi học sinh giỏi lớp 9 (Thời gian 150 phút)

Đ1

đề thi học sinh giỏi lớp 9
( Thời gian 150 phút )

Bài 1 : Cho a,b,c là các số dương . Chứng minh :
 
Bài 2 : Cho các số x , y không âm thoả mãn x +y = 1. Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của :
 
Bài 3 : Cho biểu thức : 
a. Tìm TXĐ và rút gọn biểu thức A
b. Tìm các giá trị của x để A < 2
Bài 4 :
 Cho đường tròn (O) Nội tiếp tam giác đều ABC . Một tiếp tuến của đường tròn cắt các cạnh AB và AC theo thứ tự ở M và N.
a. Tính diện tích tam giác AMN biết BC = 8cm ; MN = 3cm.
b. Chứng minh rằng : MN2 = AM2 + AN2 - MN. AN
c. Chứng minh
Bài 5 : Giải phương trình : 



…………………………………………….











H1
Hướng dẫn chấm
đề thi học sinh giỏi lớp 9

Bài 1 : ( 3 điểm )
Vì a,b,c là các số dương . áp dụng bất đẳng thức Cô -si ta có :
 	( 1 điểm )

Tương tự : 	( 1 điểm )
Cộng từng vế 3 đẳng thức ta được :
 	(1 điểm )
Bài 2 : ( 3 điểm )

Ta có 	 (1 điểm )
Đặt xy = t thì 
A nhỏ nhất nhỏ nhất t+2 lớn nhất t lớn nhất 
 . Khi đó Min 	 (1 điểm )
A lớn nhất lớn nhất t+2 nhỏ nhất t nhỏ nhất t = 0

 Khi đó Max A = 1	(1 điểm )

Bài 3 : ( 6 điểm )
a. TXĐ :	(1 điểm )
+ Kết quả rút gọn : 	(3 điểm )
b. Giải A< 2 ta được Kết hợp với TXĐ suy ra các gioá trị phải tìm của x là : 	(2 điểm )

Bài 4 : ( 8 điểm )
Gọi r là bán kính của (O) ; D và E là tiếp điểm trên cạnh AB và AC.
Đặt AB = AC = BC = a; AM =x ; AN = y ; MN = z 
a. (3 điểm )Tính (1 điểm )
Lần lượt tính SADOE ; SMON 
Và chú ý SAMN = SADOE - 2.SMON = (2 điểm )
 
b. (3 điểm )Kẻ NH vuông góc với AB . Ta có 
 Theo định lý Py - Ta - go ta có : 
MN2 = NH2 + HM2 = 
c. (2 điểm ) Dễ thấy x + y +z = 2 AD = a . Hệ thức phải chứng minh tương đương với

 x(x+z) + y ( y + z ) = ( x+ z )( y+ z )
 x2 + xz + y2 + yz = xy + xz + yz + z2 x2 + y2 - xy = z2 
Đẳng thức này đã được chứng minh ở câu b.

Bài 5 : ( 2 điểm )
Đặt y = 1 - 2x2 y + 2x2 = 1 ( y 1 )
Ta có hệ phương trình:

* Với y = x ; y 1 ( * ), ta có :
(1b) 2x2 +x -1 = 0 x = 1 ; x = 1/2 thoả mãn (*)
- Với ( ** ) ta có :
(1b) Thoả mãn (**)
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm .

………………………………………..




Người ra đề





Nguyễn Mạnh Thảo

Người thẩm định





Bùi Thị Tình
Hiệu Trưởng





Nguyễn Xuân Hoàng