Đề thi học sinh giỏi lớp 9 - THPT cấp thành phố năm học 2006 – 2007 môn Toán

Sở Giáo dục - Đào tạo
 TP.Hồ Chí Minh
 KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9-THCS CẤP THÀNH PHỐ
 Năm học 2006 – 2007	 MÔN TOÁN	
 	 Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian phát đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu 1 : (3 đ)Thu gọn các biểu thức:
	a)
	b) 
	c) 
Câu 2 : (3 đ)
Chứng minh : 
Cho . 
 Chứng minh : . 
 Dấu bằng xảy ra khi x, y, z bằng bao nhiêu?
Câu 3 : (4 đ)
	Giải hệ phương trình và phương trình:
	a)	
	b) 
Câu 4 : (2 đ) Cho phương trình : cĩ các hệ số là các số nguyên lẻ. 
Chứng minh rằng phương trình nếu cĩ nghiệm thì các nghiệm ấy khơng thể là số hữu tỉ.
Câu 5 : (4 đ)
	Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB bằng 2R. Gọi M là một điểm chuyển động trên nửa đường trịn (O) ( M khác A và B). Vẽ đường trịn tâm M tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến tiếp xúc với đường trịn tâm M lần lượt tại C và D.
 	a)Chứng minh ba điểm M, C, D cùng nằm trên tiếp tuyến của đường trịn (O) tại M.
 	b)Chứng minh tổng AC + BD khơng đổi. Tính tích số AC.BD theo CD.
 	c)Giả sử CD cắt AB tại K. Chứng minh OA2 = OB2 = OH.OK. 
Câu 6 : (4 đ)
 Tam giác ABC nội tiếp trong đường trịn (O) cĩ ACB = 45o. Đường tròn đường kính AB cắt AC và BC lần lượt tại M và N. Chứng minh MN vuông góc OC và MN = .	 HẾT