Đề thi học sinh giỏi môn toán cấp trường lần 1 thời gian : 150 phút

SỞ GD-ĐT BẮC NINH
TRƯỜNG THPT QUẾ VÕ SỐ 1
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN CẤP TRƯỜNG LẦN 1
Thời gian : 150 phút
---------------------------------------------------
Câu 1 .( 2 điểm )
	Cho hàm số : 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt
Câu 2 .( 2 điểm )
Giải phương trình : 
Tìm m để phương trình 
có hai nghiệm sao cho 
Câu 3. ( 3 điểm )
Cho tam giác ABC có A(0;1), B(1;0) , C(5;4)
Chứng minh tam giác ABC vuông
Gọi I là giao điểm của trung tuyến AM và phân giác trong BN . 
Tìm tọa độ điểm I
Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O , điểm D là trung điểm của AB , E là trọng tâm tam giác ACD . Chứng minh rằng : 
Câu 4 . ( 2 điểm )
Cho hệ phương trình : 
Giải hệ khi m=4
Tìm m để hệ có đúng hai nghiệm phân biệt
Câu 5 . ( 1 điểm )
	Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn : ab+bc+ca=3 . Chứng minh rằng :
ĐÁP ÁN
Đáp án
Thang điểm
Câu 1
 a, +TXĐ, tính đồng biến nghịch biến ,Bảng biến thiên
 +Đồ thị đúng đẹp
 b, +Lập luận để vẽ và vẽ đúng đồ thị hàm 
 +Từ đồ thị suy ra để PT có 4 nghiệm phân biệt 
 thì : 0<m<1
Câu 2
 a, PT
 b, PT đặt 
 PT trở thành : (1)
 PT ban đầu có nghiệm 
 (1) có nghiệm 
Câu 3
1.a, Ta có 
 tam giác ABC vuông tại B
 b, Theo tính chất của phân giác trong ta có :
Từ đó , tính được tọa độ của I là 
2.Gọi M là trung điểm của AC
Vì E là trọng tâm tam giác ACD nên 
 D là trung điểm của AB nên 
Vì (O) ngoại tiếp nên , cân nên OD=OM
Do đó , 
Ta có :
Câu 4. HPTđặt ta được
 (*)
 a, Khi m=4 ta có 
Từ đó ra các nghiệm của hệ ban đầu : (2;-2),(-2;2),(0;4),(4;0)
(Lưu ý : nếu thí sinh thay m vào luôn HPT thì câu a vẫn tính 1 điểm )
b, ĐK cần :Ta có hệ ban đầu có nghiệm hệ (*) có nghiệm;
Số nghiệm của hệ đầu cũng là số nghiệm của (*). 
Nếu (a0,b0) là nghiệm của (*) ( dễ thấy a0≠-b0) thì (-a0;-b0),(b0;a0),(-b0;-a0) , do đó để hệ có đúng 2 nghiệm phân biệt thì : a=b 
Thay vào (*) ta được m=0
ĐK đủ :với m=0 dễ dàng kiểm tra thấy thỏa mãn
Lưu ý : Có thể giải bằng việc thế (1) , (2) vào (3) ra PT
Từ đó , dẫn đến hệ có 2 nghiệm phân biệt khi : (4) và (5) có nghiệm kép hoặc
(4) có 2 no p/b, (5) vô no hoặc (4) vô no , (5) có 2 no pb
Câu 5
Từ giả thiết 
Nên ta có : 
Tương tự 
Cộng vế với vế các BĐT ta được điều phải CM
Dấu bằng xảy ra a=b=c=1
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,5 điểm
0,25 điểm