Đề thi học sinh giỏi môn Toán học

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM 2006 – 2007
Bài 1 : 
Giải phương trình : 
Bài 2 : 
Giải hệ phương trình sau : 
Bài 3 : Gọi m là giá trị nhỏ nhất trong 3 số : (x – y)2 ; (y – z)2 ; (z – x)2
Chứng minh rằng : 
Bài 4 : 
a/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x2 + 3x + 1 
b/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 
Bài 5 : Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , (C) là đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC . Chứng minh rằng :
 a/ Tâm của đường tròn C nằm trên đường thẳng AI
 b/ Nếu AB = AC thì AB và AC là 2 tiếp tuyến của đường tròn ( C) .
Bài 6 : Hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài với nhau tại D , một tiếp tuyến Ax bất kỳ của đường tròn (O) cắt đường tròn (O’) tại B và C .
 Chứng minh rằng điểm A cách đều hai đường thẳng BD và CD .
ĐÁP ÁN
BÀI I : Điều kiện : 
Đặt ẩn phụ t = . Từ (*) t2 + t – 5 = 0 
Giải ra ta được : ( loại bỏ ) ; ( nhận ) 
BÀI II : Đặt ẩn phụ 
 . Từ pt (1) z + 4.1/z = 4 z2 – 4z + 4 = 0 z = 2 
 . Hệ đã cho trở thành : 
BÀI III : Gỉa sử : 
BÀI IV : a/ MinA = x2 + 3x + 1 = khi x = 
 b/ 
A
 khi : ±
BÀI V : 	a/ Gọi K là tâm đường tròn bàng tiếp 
 tam giác ABC 
I
 IBK = ICK = 900
C
B
 Đường tròn đường kính IK đi qua
J
 B, C .
 Tâm của đường tròn đi qua I, B, C 
 Là trung điểm IK . Hay đường tròn 
K
 Tâm J của (C ) nằm trên AI .
b/ Nếu AB = AC thì AB, AC là 2 tiếp tuyến 
AB = AC JBA = JBI + ABI = JIB + ABI = ( 2B + A) : 2 = ( B + A + C ) : 2 = 900
JB AB ; JC AC . Vậy AB ; AC là 2 tiếp tuyến .