Đề thi học sinh giỏi Môn: Toán lớp 8 (Thời gian 120’)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Môn: Toán lớp 8 (Thời gian 120’)
Câu 1: (4 điểm)
Cho biểu thức: A = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n
Phân tích biểu thức A thành nhân tử.
Chứng tỏ giá trị biểu thức A chia hết cho 24 với mọi giá trị n N.
Câu 2: (4 điểm)
So sánh hai số sau:
A = và B = 
Câu 3: (4 điểm)
Tìm các giái trị nguyên của x để giá trị tương ứng của biểu thức sau cũng có giá trị nguyên.

Câu 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Gọi I, K lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC, gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM vuông góc với IK.
Câu 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A có BC = a, AC = b, AB = c, diện tích tam giác ABC là S.
Chứng minh rằng: 4S = (a + b + c)(b + c – a)


















ĐÁP ÁN TOÁN 8

Câu 1: 
A = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n
 = n(n3 + 6n2 + 11n + 6)
 = n(n3 + n2 + 5n2 + 5n + 6n + 6)
 = n[n2(n + 1) + 5n(n + 1) + 6(n + 1)]
 = n(n + 1)(n2 + 5n + 6)
 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) (2 điểm)
A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
Trong đó là tích 4 số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3 (1)
4 số tự nhiên liên tiếp có hai số chẵn liên tiếp, trong 2 số chẵn liên tiếp có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 4. Nên tích 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 8 (2)
3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau (3).
Từ (1), (2), (3) (2 điểm)
Câu 2: (4 điểm)
Hai số đều là phân số có tử, mẫu là số dương.
A = = 
Hai số A và B là hai phân số dương có cùng tử, ta so sánh hai mẫu.
(2009 + 2008)2 > 20092 + 20082

Câu 3: (4 điểm)

Khi cho x một giá trị nguyên thì x2 là một số nguyên, do đó biểu thức C(x) có giá trị nguyên khi và chỉ khi nhận giá trị nguyên. 
 x – 1 Ư(2) = 
x – 1 = - 1 x = 0 C(0) = -2 
x – 1 = 1 x = 2 C(2) = 6 
x – 1 = -2 x = -1 C(-1) = 0
x – 1 = 2 x = 3 C(3) = 10
Câu 4:
GT

KL


Tứ giác AIHK là hình chữ nhật (có 3 góc vuông)
Gọi O là giao điểm của AH và IK. N là giao điểm AM và IK.
AM = MC = (Tính chất trung tuyễn ứng với cạnh huyền của tam giác vuông) 
 (Tính chất đường chéo hình chữ nhật)

Câu 5: (4 điểm)

S = bc 4S = 2bc (1)
(a + b + c)(b + c – a) 
= (b + c)2 – a2 
= b2 + 2bc + c2 – a2 
= (b2 + c2 – a2) + 2bc 
= 0 + 2bc (Định lí Pitago: b2 + c2 = a2 nên b2 + c2 – a2 = 0)
= 2bc (2)
Từ (1) và (2) suy ra 4S = (a + b + c)(b + c – a).