Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9

Đề thi học sinh giỏi môn Toán
	lớp : 9
	Năm học 2007 - 2008
Bài 1: Hãy chọn đáp án đúng.
Câu 1: Phương trình = x - 2
	a. Vô nghiệm	b. Vô số nghiệm
	c. Có 1 nghiệm âm	d. Có 1 nghiệm dương
Câu 2: giá trị của biểu thức.
	 bằng
a. 1 ; b. 2 - 1 ; c. ; d. 
Câu 3: Cho tam giác ABC, biết B = 2C; AC - AB = 2
	BC = 5 
	 Độ dài cạnh AB là:
	a. 3 ; b. 4 ; c. 5 ; d. 6
	‚, Độ dài cạnh AC là.
	a. 6 ; b. 7 ; c. 8 ; d. 9
Câu 4: Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB tại D. Biết AC. BC = 2AD . DB. Số đo góc C là 
	a. 300 ; b. 600 ; c. 900 ; d. 1200
Bài 2: (2,5đ)
	Cho biểu thức:
	P = 
	a. Rút gọn P
	b. Tính gía trị của x để P = -1
	c. Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có m ()P > x + 1
Bài 3: (2,5đ) Cho phương trình
	y = |2 - x| + |2x + 1|
	a. Vẽ đồ thị của phương trình.
	b. Minh hoạ nghiệm của phương trình trên đồ thị trong trường hợp y = 2	c. Dùng đồ thị biện luận theo y về số nghiệm của phương trình
Bài 4: (2,5đ) Cho nửa đường tròn tâm O. đường kính AB từ một điểm M trên nửa đường tròn ta vẽ tiếp tuyến xy. Kẻ AD xy và Bc xy.
	a. Chứng minh MC = MD
	b. Chứng minh tổng AD + BC có giá trị không đổi.
	c. Xác định vị trí điểm M để tứ giác ABCD có diện tích lớn nhất.
Đáp án và biểu điểm
Bài 1: (2,5đ) hãy chọn đáp án đúng
	Câu 1: Đúng là a (0,5đ)
	Câu 2: Đúng là a	(0,5đ)
	Câu 3: Đúng là b	(0,5đ)
	 ‚ Đúng là a	(0,5đ)
	Câu 4: Đúng là c	(0,5đ)
Bài 2: (2,5đ)
	a. Rút gọn P (1,5đ) (0,5đ)
	Điều kiện a O ; x 4 và x 9 (0,5đ)
	P = (0,25đ)
	 = 	 (0,25đ)
	 = 	 (0,25đ)
	 = 	 (0,25đ)
	b. (0,5đ) 
 	P = -1 4x + - 3 = 0 (0,25đ) 
	(+ 1) (4 - 3)= 0	 
	 = x = 	 (0,25đ)
	c. Biết phương trình đưa về dạng 
	4mx > x + 1 (4m - 1) x > 1 (0,25đ)
	Nếu 4m - 1 0 thì tập nghiệm không thể chứa mọi giá trị x > 9;
 Nếu 4m - 1 > 0 thì nghiệm bất phương trình là x > . do đó bất phương trình thoả mãn với mọi x > 9 9 và 4m - 1 > 0
Ta có m (0,25đ)
Bài 3: Vẽ đường thẳng của phương trình: y = |2 - x| + | 2x + 1|
với x - ta có thể y = 2 - x - 2x - 1 y = -3x + 1 (1/4đ)
với - < x 2 ta có y = 2 - x + 2x + 1 y = x + 3 (1/4đ)
với x > 2 ta có y = x - 2 + 2x + 1 y = 3x - 1 (1/4đ)
ta đi vẽ đường thẳng 
nếu
nếu
nếu
	y = |2 - x| + |2x+ 1| 
 y E
 6 
 A 5 C
 4
 3
 2,5 y = 2,5
 B 2
 1
 -3 -1 -1/2 0 1/2 1 2 x 
Vậy đồ thị y = |2 - x| + | 2x + 1| là.
đường ABCE
b. Phương trình đã cho.
Khi y = 2,5 thì x = - 
c. Dùng đồ thị biện luận 
theo y về số nghiệm. của phương trình
nhìn vào đồ thị.
Ta nhận thấy:
	y = 2,5 phương trình có 1 nghiệm
	x = -
	y < 2,5 phương trình vô nghiệm
	y > 2,5 phương trình có 2 nghiệm
 y
 C
 M
 D
x
 A H O D 
Bài 4: (2,5đ)
a. AD // BC // CM (vì OM xy . AB xy)
BC xy tứ giác ABCD là hình thang.
và OM là đường trung bình
Suy ra M là trung điểm của DC
và MC = MD (1/2đ)
b. Theo tính chất đường tròn của hình thang ta có
	20M = AD + BC mà 20M = AB ; AB là đường kính của đường tròn (O) nên không đổivậy.
	AB = AD + BC không đổi.
c. SABCD = CD (AD + BC) = AB . CD (theo chứng minh trên AB = AD + BC)
AB không đổi
	SABCD lớn nhất khi CD lớn nhất.
Mà CD AB vậy CD lớn nhất khi CD = AB. tức là lúc ấy M là điểm chính giữa cung AB
	SABCD đặt giá trị lớn nhất là AB2 khi M là điểm chính giữa của cung AB
Ghi chú (Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)