Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013 - Sở GD&ĐT Quảng Nam

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
Năm học 2012-2013
ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn thi : TOÁN
Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi : 03/4/2013
Câu 1 (3,0 điểm) 
a. Rút gọn biểu thức A = (+)(+)
	b.Tính giá trị biểu thức B = x5 – 10x3 - 15x2 + 2x + 1, biết rằng x = 2 - 
Câu 2 (4,0 điểm). 
a. Giải phương trình (x – 2)(x – 1)(x + 3)(x+6) = 12x2
b. Giải hệ phương trình:
Câu 3 (4,0 điểm). 
	a. Chứng minh rằng phương trình x2 – 2y = 2013 không có nghiệm nguyên.
	b. Cho s, t, x, y, z là các số nguyên và tổng s + t + x + y + z chia hết cho 5.
	Chứng minh rằng tổng s5 + t5 + x5 + y5 + z5 chia hết cho 5
Câu 4 (7,0 điểm). 
1. Cho tam giác ABC. Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho AB = 3AM, AC = 3AN. Biết diện tích tứ giác MNCB bằng 48cm2.
	a. Tính diện tích tam giác AMN.
	b. Gọi O là giao điểm của BN và CM. Tính diện tích tam giác BMO
	2. Cho tam giác nhọn ABC, có trực tâm H và tâm đường tròn noại tiếp là O. Đường trung trực của đoạn thẳng AH cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:
	a. Tam giác AOC đồng dạng với tam giác ADH
	b. Điểm A là tâm đường tròn bang tiếp tam giác DOE.
Câu 5 (2,0 điểm). 
Cho ba số thực dương a, b, c.
Chứng minh rằng: 
Đẳng thức xảy ra khi nào?
==== Hết ====
Lưu ý: Học sinh không được đem máy tính bỏ túi vao phòng thi.
HƯƠNG DẪN GIẢI
Câu 1 (3,0 điểm) 
a. Rút gọn biểu thức A = (+)(+)
Tính A2 = (+)2(+)2
	 = (3 + + 7 - 3 + 2)(42 + 2 )
	 = (10 - 2 + )(42 + 2.15)
	 = 12(10 - 2+ ( + 1)(3 -))
	 = 72(10 - 2 + 3 - 5 + 3 - ) = 72.8 = 576
Do A > 0 Vậy A = 24
	b.Tính giá trị biểu thức B = x5 – 10x3 - 15x2 + 2x + 1, biết rằng x = 2 - 
x2 = (2 - )2 = 7 - 4
x3 = x2 .x = (7 - 4)(2 - ) = 26 - 15
x5 = x3.x2 = (7 - 4)(26 - 15) = 362 - 209
B = 362 - 209 - 10(26 -15) - 15(7 - 4) + 2(2 - ) + 1 = 2 - 
Câu 2 (4,0 điểm). 
a. Giải phương trình (x – 2)(x – 1)(x + 3)(x + 6) = 12x2
Ta có: (x – 2)(x – 1)(x + 3)(x + 6) = 12x2
 (x2 + x – 6)(x2 + 5x – 6) = 12x2 (*)
Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình.
Chia hai vế của phương trình (*) cho x2 ≠ 0 ta được:
(x - + 1)( x - + 5) = 12
Đặt t = x - ta có phương trình:
(t + 1)(t + 5) = 12 khai triển và rút gọn ta được pt:
 t2 + 6t - 7 = 0 
Với t = 1 => x - = 1 x2 – x – 6 = 0 
Với t = -7 => x - = -7 x2 + 7x – 6 = 0 
Vậy phương trình có 4 nghiệm 
b. Giải hệ phương trình:
Trừ hai pt vế theo vế ta được:
(x - y)3 = 8 x – y = 2
Hệ pt đã cho tương đương với hệ
Vậy hệ pt có 2 nghiệm
Câu 3 (4,0 điểm). 
	a. Chứng minh rằng phương trình x2 – 2y = 2013 không có nghiệm nguyên.
Ta có thể chứng minh bằng phản chứng
b. Cho s, t, x, y, z là các số nguyên và tổng s + t + x + y + z chia hết cho 5.
	Chứng minh rằng tổng s5 + t5 + x5 + y5 + z5 chia hết cho 5
Ta chứng minh s5 – s chia hết cho 5 tương tự các số t, x, t, z rồi cộng lại suy ra điều cần chứng minh.
Câu 4 (7,0 điểm). 
1. Cho tam giác ABC. Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho AB = 3AM, AC = 3AN. Biết diện tích tứ giác MNCB bằng 48cm2.
	a. Tính diện tích tam giác AMN.
 S∆AMN = 6 cm2 (HD: = 9)
	b. Gọi O là giao điểm của BN và CM. Tính diện tích tam giác BMO
Gọi x là diện tích tam giác AMO và y là diện tích tam giác ANO ta có hệ pt
x = y = 4,5 cm2 từ đó suy ra S∆BMO = 9cm2 
	2. Cho tam giác nhọn ABC, có trực tâm H và tâm đường tròn noại tiếp là O. Đường trung trực của đoạn thẳng AH cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:
	a. Tam giác AOC đồng dạng với tam giác ADH
	b. Điểm A là tâm đường tròn bàng tiếp tam giác DOE.
(dễ dang chứng minh được)
Câu 5 (2,0 điểm). 
Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: 
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Với a, b > 0 ta có 
(a – b)2(a + b) ≥ 0 a3 ≥ ab(a + b) - b3 ≥ a(a + b) – b2 = a2 + ab – b2
Tương tự ta có 3 BĐT và cộng chúng lại ta suy ra đpcm