Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD&ĐT Ba Đình (Có đáp án)

PHÒNG GD VÀ ĐT QUẬN BA ĐÌNH
ĐỀ HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2019-2020. MÔN: TOÁN 9
a) Cho . Tìm giá trị của 
b) Cho . Hỏi A có bao nhiêu chữ số ?
a) Giải phương trình 
b) Tìm cặp số nguyên thỏa mãn 
a) Cho a; b; c là ba số tự nhiên liên tiếp. CMR: chia hết cho 3.
b) Cho biểu thức . Tìm số dư khi chia A cho 3.
Cho hình vuông tâm , trên cạnh lấy tương ứng sao cho .
a) Chứng minh vuông cân.
b) cắt tại , bắt tại . Tìm vị trí để các tứ giác là hình bình hành.
c) Chứng minh .
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác .
Cho a; b là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
PHÒNG GD VÀ ĐT QUẬN BA ĐÌNH
ĐỀ HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2019-2020. MÔN: TOÁN 9
a) Cho . Tìm giá trị của 
b) Cho . Hỏi A có bao nhiêu chữ số ?
Lời giải
a) 
b) Cho . Hỏi A có bao nhiêu chữ số ?
Vậy A có chữ số 
a) Giải phương trình 
b) Tìm cặp số nguyên thỏa mãn 
Lời giải
a) Giải phương trình 
(đk: )
Th1: 
Đặt 
Phương trình đã cho có dạng 
Vậy 
TH2: ( Thỏa mãn điều kiện)
Vậy là nghiệm của phương trình. 
b) Tìm cặp số nguyên thỏa mãn 
Ta có 
Do x, y là số nguyên nên và là ước của 19
TH1: 
TH2: 
 (không có giá trị y nguyên )
a) Cho a; b; c là ba số tự nhiên liên tiếp. CMR: chia hết cho 3.
b) Cho biểu thức . Tìm số dư khi chia A cho 3.
Lời giải
a) Cho a; b; c là ba số tự nhiên liên tiếp. CMR: chia hết cho 3.
Vì a; b; c là ba số tự nhiên liên tiếp nên ta có: 
Vậy chia hết cho 3.
b) Cho biểu thức . Tìm số dư khi chia A cho 3.
Theo phần a: ; ;;
Nên chia cho 3 dư 1
Ta có 
Do 2022 chia hết cho 3 nên A chia cho 3 dư 1.
Cho hình vuông tâm , trên cạnh lấy tương ứng sao cho .
a) Chứng minh vuông cân.
b) cắt tại , bắt tại . Tìm vị trí để các tứ giác là hình bình hành.
c) Chứng minh .
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác .
Lời giải
a) Chứng minh vuông cân.
Ta có: là hình vuông .
Ta có: 
Suy ra vuông cân tại .
b) cắt tại , bắt tại . Tìm vị trí để các tứ giác là hình bình hành.
* Tứ giác là hình bình hành .
+) Khi thì 
+) Khi thì là đường trung bình của 
mà ( vuông tại ) 
 là trung điểm của .
Vậy khi lần lượt là trung điểm của thì tứ giác là hình bình hành.
* Tứ giác là hình bình hành .
+) Khi mà là trung điểm của 
 là trung điểm của (chứng minh trên)
+) Khi là trung điểm của , mà hay 
 là trung điểm của 
Mặt khác, khi lần lượt là trung điểm của thì là hình vuông
.
Vậy khi lần lượt là trung điểm của thì tứ giác là hình bình hành.
c) Chứng minh .
+) Xét có (định lí Ta – lét)
mà (định lí Ta – lét đảo)
 (hai góc đồng vị) ( vuông cân tại )
+) Xét và có: ; (đối đỉnh)
, mà .
+) Ta có: .
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác .
Ta có: chu vi tứ giác bằng: 
mà (không đổi).
Dấu “=” xảy ra là trung điểm của .
Vậy chu vi tứ giác nhỏ nhất bằng khi là trung điểm của .
Ta có 
Thay 
Do a, b dương áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
Ta có 
Nên khi 
Vậy GTNN của A là 8 khi .